贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学检测试题（含答案）

这是一份贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市2024-2025学年高一下学期第一次月考数学检测试题（含答案），共13页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 已知向量，， 已知向量，夹角为，且，则， 我国南宋著名数学家秦九韶， 已知为虚数单位，复数满足，则， 已知平面向量，，且，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量.
【详解】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等.
对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以.
对于选项C：与方向不同，所以与不相等.
对于选项D：与方向不同，所以与不相等.
与相等的向量为.
故选：B.
2. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.
【详解】由题意得，，
∴.
故选：B.
3. 如图，在中，是边中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到.
【详解】是边的中点，，
，
是边上靠近点的三等分点,，
，
又，.
故选：C
4. 已知向量，.若，则（ ）
A. 4B. C. 5D.
【正确答案】D
【分析】根据向量共线的坐标表示求出的值，即可求出，再根据求出的坐标，最后再计算其模.
【详解】因为，且，
所以，则，
所以，则.
故选：D
5. 已知向量，夹角为，且，则（ ）
A. B. 10C. D.
【正确答案】C
【分析】根据向量的模长公式求出，再根据向量数量积公式计算.
【详解】已知，可得：
已知向量，夹角为，，，
则
则.
故选：C.
6. 结合图示，某坡度为看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ）
A. B. C. 90mD.
【正确答案】A
【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可.
【详解】如图所示，由题意，
则，
在中，因为，
所以，
在中，，
所以建筑的高度为.
故选：A.
7. 在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】D
【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.
【详解】由余弦定理可知，
即，
整理得，解得或（舍去）.
故选：D.
8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【正确答案】C
【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题意，则.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. 的实部为3
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点在第四象限
【正确答案】ACD
【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.
【详解】由于，
则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；
由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，
故选：ACD
10. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据即向量、的坐标，求出，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以
，
所以，
因为，所以，
整理得：，解得，故C错误；
所以，，故A正确；
因为，，所以，所以，故B正确；
，故D正确.
故选：ABD
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的倍
D. 若，则外接圆半径为
【正确答案】ACD
【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可.
【详解】对A，因为在中，
所以 ，解得，
所以根据正弦定理知，故A正确；
对B，易知角C为最大角，则，
，所以角C为锐角，故锐角三角形，故B错误；
易角A为最小角，则，
所以，即，
又，所以，所以 ，故C正确；
设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则______．
【正确答案】
【分析】利用向量减法的坐标式计算即得.
【详解】.
故答案为.
13. 已知，，则______.
【正确答案】5
【分析】根据复数的加法法则和模长公式计算即可.
【详解】由题意，
则，
故5
14. 如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则__________.
【正确答案】12
【分析】利用平面向量的线性运算用表示，再进行数量积运算即可.
【详解】依题意，
因为三角形是等边三角形，
.
故12.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是夹角为的两个单位向量，.
（1）求；
（2）求证.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）首先计算出的值，再根据数量积的运算律即可得结果；
（2）通过计算即可证得结果.
【小问1详解】
由题意可得，
.
【小问2详解】
证明：，
.
16. 已知.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求实数的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，可得且，
则.
【小问2详解】
解：由向量，可得，
因为，可得，
即，解得.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c的值．
【正确答案】（1）
（2）．
【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可；
（2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理及．
得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以．
【小问2详解】
由题意得的面积，所以①．
又，且，所以②．
由①②得．
18. 从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且 ．
（1）求的面积；
（2）若是线段的中点，求的长．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）若选择①，则得，由余弦定理即可得到，结合条件，，代入三角形面积公式即可求解；
若选择②，由射影定理，又，，结合余弦定理即可得到，代入三角形面积公式即可求解；
（2）由中点向量得，，平方化简可得，即可求解.
【小问1详解】
选择①，
因为，即
在中，由余弦定理得：，
，，又，，
故的面积.
选择②，
因为，则射影定理，得，
又，，在中，由余弦定理得：，
，，
故的面积.
【小问2详解】
因为是线段的中点，
所以，即，则
所以，故的长为.
19. 对任意非零向量，定义
（1）若向量，求的值
（2）若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值；
（2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可.
【小问1详解】
向量，
则；
【小问2详解】
，解得，
所以.