广东省广州市2024-2025学年高一下学期3月三联考数学检测试卷（含答案）

这是一份广东省广州市2024-2025学年高一下学期3月三联考数学检测试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了 的值是， 已知，则， 下列说法正确的是， 若，则， 已知向量，且，则实数=等内容，欢迎下载使用。
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用诱导公式求值.
详解】.
故选：D
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由向量减法坐标表示可得答案.
【详解】因，则.
故选：A
3. 在中，点是上靠近点的四等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】运用三角形法则变形计算即可.
【详解】如图所示，

在中，.
已知点是上靠近点的四等分点，所以.
在中，，代入，可得.
.
又因为，，所以.
故选：D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 若，，则
D. 向量与向量的长度相等
【正确答案】D
【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.
两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.
当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.
向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.
故选：D.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，则.
故选：B.
6. 已知向量，且，则实数=
A. B. 0C. 3D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.
考点：向量的坐标运算.
7. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】C
【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得.
【详解】因为，所以，
由余弦定理得，
，，
，则.
故选：C.
8. 如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得.
【详解】在中，点在线段上，且，
则，
，而，因此，
即，所以.
故选：A
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 与共线
B. 单位向量
C. 向量在向量上投影向量为
D. 若，则
【正确答案】BD
【分析】根据向量共线、单位向量、投影向量和向量垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得，则与不共线，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，在上的投影向量为，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：BD.
10. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
【正确答案】AB
【分析】根据函数图象求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由图可得，所以，则，解得，
即函数的最小正周期是，故A正确；
又，所以，所以，
因为，所以，
所以，
又，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
因为，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位得到，
显然为非奇非偶函数，故D错误.
故选：AB
11. 在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（ ）
A.
B. 的周长的最大值为
C. 当最大时，的面积为
D. 的最大值为
【正确答案】BC
【分析】利用正弦定理化简条件中的式子，再利用余弦定理即可得角，可判断A选项；利用基本不等式可求B选项；利用正弦定理得即可判断C选项；利用正弦定理边化角，求三角函数的最值可判断D选项.
【详解】
由正弦定理可得，，即，
则由余弦定理得，因，则，故A错误；
得，
因，则，当且仅当时等号成立，
则的周长的最大值为，故B正确；
由正弦定理得，则，
故当时，取最大值，此时，，故C正确；
由C选项可知，
，
其中，故当时，取最大值，故D错误.
故选：BC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为单位向量，且，则___________.
【正确答案】
【分析】
由平方后求得，再求可得结论．
【详解】∵为单位向量，
∴，∴．
∴．
故．
13. 如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则__________．
【正确答案】3
【分析】先证明为中点，再利用转化法求得，代入数据即可.
【详解】因为，则为中点，
则，则，
则，
则.
故3.
14. 的内角，，的对边分别为，，，且，.若点与点在两侧，，且，，，四点共圆，则四边形的面积为______________.
【正确答案】
【分析】先利用正弦定理对题设条件进行边角互化可解得，由，且，，，四点共圆，可知四边形为等腰梯形，圆心为 中点，由计算即可得出结论.
【详解】根据题意，，
所以，
由正弦定理可得：，
所以,
又因为，，
所以，即，解得；
因为，，则,且，，，四点共圆，
根据圆内接四边形对角互补，可知 ，
设DC的终点为O，连接，则为等边三角形，
则,
所以中点即为圆心，，四边形为等腰梯形，如图所示：
则也为等边三角形，所以
在 中，由余弦定理得，
即，解得，
所以.
故
关键点睛：通过题设条件以及，，，四点共圆，得出圆心为 中点，四边形为等腰梯形，并画出图象，数形结合求四边形的面积是解题关键.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、．
【正确答案】，，
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，，所以，，
所以
；
；
．
16. 在平面直角坐标系中，已知，.
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数t的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可；
（2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，，
因为，
所以，解得.
【小问2详解】
，
因为，所以，
解得.
17. 在平面直角坐标系中，向量，其中.
（1）若，求角的值；
（2）记，若，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量平行的坐标关系列出等式，通过三角函数公式化简求解的值；（2）先求出的表达式，再根据已知条件求出的值，最后通过换元法求出的值.
【小问1详解】
因为，则
化简得：，即
又，即，
所以，即.
【小问2详解】
由
由，即，
令，则，即
则
18. 在中，角所对的边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）设．
（i）求边的值；
（ii）求的值．
【正确答案】（1）
（2）（i）3；（ii）
【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，再利用和差公式及三角形内角和定理即可求解.
（2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）利用正弦定理可求出，由余弦定理可得，利用二倍角公式及和差公式即可求解.
【小问1详解】
中，，
由正弦定理得，
所以，
即，
所以，
因为，，所以，
又，所以.
【小问2详解】
（i）由余弦定理，得，即，
即，解得.
（ii）由正弦定理得，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以.
19. 已知函数的定义域为集合，若都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数.
（1）若函数，试判断函数是否为“距”增函数，并说明理由；
（2）若函数，为“距”增函数，求正实数的取值范围；
（3）若函数，为“2距”增函数，求的最小值.
【正确答案】（1）是“距”增函数，理由见解析
（2）
（3）
【分析】（1）根据题设中新定义可证，故可判断为“距”增函数.
（2）根据函数新定义可得对任意都成立，法1：根据二次函数的性质可求参数的范围；法2：参变分离后，设，证得函数在上为单调递减函数，则参数范围可求；
（3）根据函数新定义可得，分和两种情况进行讨论后可求函数的最小值.
【小问1详解】
函数是“距”增函数.
因为的定义域为
任取，
因为，所以，即，，所以，
所以，函数是“距”增函数.
小问2详解】
因为函数，为“距”增函数
所以，对任意，
所以，
即，
因为，，所以，（**）
法1：因为函数图象开口向上且对称轴为
所以，函数在上单调递增
所以，当时，函数取得最小值为
若对任意都成立，则，即
因此，若函数，为“距”增函数，则.
法2：（接（**））即，对任意都成立，设
对于任意，且，
因为，所以，，，所以，
即，
所以，在上单调递减函数
所以，，所以，
因此，若函数，为“距”增函数，则；
【小问3详解】
由题意可知，，若函数，为“2距”增函数
则，，
即
即，即，所以，，
所以，
由，设，
①当时，，且
则，
因为，所以，，，
所以，，即
所以，，所以，在上单调递增，
②当时，
当且仅当，即时，取得等号.
此时，，
综上，.
“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.