四川省巴中市巴州区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份四川省巴中市巴州区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案），共17页。试卷主要包含了 若函数在处可导，且，则， 下列求导错误的是， 下列结论正确的是， 已知曲线，下列说法正确的有， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填涂好自己的姓名､班级､考号等信息.
2.请使用2B铅笔将答案填涂在答题卡上对应位置；非选择题请用0.5毫米黑色墨迹签字笔书写.
一､单项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若公差为的等差数列满足，，则n等于（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正确答案】B
【分析】由等差数列的通项公式，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可得，则，解得.
故选：B.
2. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】结合导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程.
【详解】，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
由点斜式可得，化简可得.
即曲线在处的切线方程为.
故选：D.
3. 在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
【正确答案】D
【分析】根据等差数列的定义进行判断即可.
【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立；
“”成立也不一定推出“数列为等差数列”；
“”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件；
故选：D
4. 若函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】C
【分析】由导数的概念可解.
【详解】.
故选：C
5. 下列求导错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用导数四则运算法则与导数运算公式逐项计算可判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：B．
6. 已知数列为等比数列，其中，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据等比中项即可求解.
【详解】根据，a，可得：，；
解得，故.
故选：B.
7. 下列结论正确的是（ ）
A. 若数列的前项和，则数列为等差数列
B. 若数列为等比数列，且前项和，则
C. 若数列为单调递增等比数列，则公比
D. 若是不全相等的非零实数，且成等差数列，则能构成等差数列
【正确答案】B
【分析】A选项，先根据求，再用求通项.发现不满足时的通项，所以不是等差.B选项，把变形，与等比数列前项和标准形式对比，得出，算出.C选项，等比数列递增有多种情况，首项为负、公比在到间也递增，并非一定.D选项，由，，等差得，假设，，等差推出，和条件矛盾.
【详解】对于A选项，已知数列的前项和.
当时，.
当时，
.
当时，，所以.
由于从第二项起才满足等差数列的通项公式，所以数列不是等差数列，A选项错误.
对于B选项，已知数列为等比数列，且前项和.
等比数列前项和公式为，对比可得，解得，B选项正确.
对于C选项，若等比数列的首项，公比时，数列也是单调递增的.例如，公比，此时数列单调递增，但，所以C选项错误.
对于D选项，因为，，成等差数列，则.
假设，，能构成等差数列，则.
把代入上式得，即.
又因为，则，即，所以.
这与，，不全相等矛盾，所以，，不能构成等差数列，D选项错误.
故选：B.
8. 已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用椭圆、双曲线的离心率及关系列式，求出的关系即可求得渐近线方程.
【详解】由，得，则，整理得，即，
双曲线的渐近线方程为，即.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
B. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
C. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
【正确答案】ACD
【分析】利用椭圆、双曲线方程及位置特征，逐项列式求解判断.
【详解】对于A，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，A正确；
对于B，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，B错误；
对于C，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，C正确；
对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，D正确.
故选：ACD
10. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 已知函数在上可导，若，则
C. 已知函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
【正确答案】BC
【分析】根据导数基本公式可判断A；根据导数定义可判断B；根据导数求导法则可判断CD.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由导数定义知，B正确；
对于C，，则，
由，得，解得或(舍去)，C正确；
对于D，由，得，
故，D错误，
故选：BC
11. 已知数列是等差数列，为数列的前n项和，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差
B. 若，，则使成立的最大的n为4039
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】BC
【分析】应用等差数列基本量运算判定A，C，应用绝对值左右平方结合基本量运算判定B，根据成等差数列，计算求值判定D.
【详解】若，数列的前10项或前11项和最大，则，
即，故A错误；
由，得，
即，整理得，
解得或．
当时，，不符题意，所以，
由，得，由，得，
所以n的最大值为4039，故B正确；
解得．
又，故C正确；
因为成等差数列，即10，30，成等差数列，
所以，解得，故D错误．
故选：BC.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则________.
【正确答案】
【分析】利用复合函数求导法则求出导数，再代入求出导数值.
【详解】函数，求导得，
所以.
故
13. 在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为_________.
【正确答案】##
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间点到面的距离公式求解.
【详解】因为，，两两垂直，故可以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则故可取，
又，故点到平面距离.
故答案为.
14. 斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，则______用，表示
【正确答案】
【分析】根据题意分析可得，，进而可得，即可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
同理，
所以，
所以，
，
所以，
，
故答案为.
四､解答题：本大题5个小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.
15. 如图，在三棱锥中，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由全等三角形的性质可得线线垂直，根据线面垂直的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
在中，由，，则，
由，为公共边，则，
所以，由图可知，
则，即，，
因为，平面，所以平面.
【小问2详解】
在中，由，则，
由，则，即两两垂直，
以以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
在中，由，，则，
设，则，，，，
取，，，，
由，则，可得，
设平面的法向量，则；
令，则，，所以平面的一个法向量.
平面的一个法向量，
设平面与平面所成角大小为，
.
16. 已知等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；
【正确答案】（1）或
（2）证明见解析
【分析】（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可；
（2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可.
【小问1详解】
设数列的公差为d，依题意：成等比数列，
所以，解得：或
当时，，当时，
所以数列的通项公式为或
【小问2详解】
因为等差数列的公差不为零，由（1）知
则
所以，故
而随n的增大而增大，则，故成立
17. 已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2.
（1）求的值；
（2）若，求曲线的过点的切线方程.
【正确答案】（1）或1
（2）或
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列式求解的值即可；
（2）结合（1）可得，设切点为，结合导数的几何意义，利用点斜式方程求出切线方程，最后利用过点求出的值，即可得解.
【小问1详解】
由已知得，
根据题意得，解得或1；
【小问2详解】
因为，所以由（1）可得，
所以，
设切点坐标为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
得，解得或，
所以切线方程为或.
18. 已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线.
（i）若是椭圆在第一象限的切线，求的方程.
（ii）若直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【分析】（1）根据椭圆离心率及焦点三角形面积最大值结合关系列方程求解；
（2）（i）先设直线方程再联立方程组根据相切得出判别式为0计算求解；设直线联立方程组结合弦长公式及点到直线距离得出面积，最后换元后应用基本不等式计算得出面积最大值.
【小问1详解】
因为焦点三角形面积的最大值是，
根据题意可得，解得，则椭圆方程为；
【小问2详解】
（i）设直线为：，
联立，得，
则，即或，
因为是椭圆在第一象限的切线，所以，
所以方程为
（ii）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，
故直线的斜率存在，则设直线为：，
设，
联立，得，
则，即或，
，则，
点到直线的距离为，
则，
令，则，则，
当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为.
19. 人教版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如.
（1）求的值；
（2）已知数列满足，求的前项和；
（3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可；
（2）利用错位相减法求和，即可得出结果；
（3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果.
【小问1详解】
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
【小问2详解】
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即，
两式相减得
【小问3详解】
由（2）可知
，
得 恒成立，
令 ，
则 ，
可得 ； 当 时，，当时，，
所以的最大值为，
故