江苏省无锡市2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷1（附答案）

这是一份江苏省无锡市2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷1（附答案），共18页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项是符合题目要求的.）
1．已知，则x＝（ ）
A．2B．5C．2或5D．2或6
2．已知随机变量，则P（ξ＝2）＝（ ）
A．B．C．D．
3．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
4．函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是f（x）的极小值
B．﹣1是f（x）的极大值
C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减
D．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零
5．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100接力比赛．记事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则P（B|A）（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）
A．96种B．64种C．32种D．16种
8．若函数f（x）＝lnx，对任意的x1＞x2＞0，不等式恒成立（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知m≤n且m，n∈N*，则下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（6分）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（B）＝
B．P（B|A1）＝
C．事件A1与事件B相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
（多选）11．（6分）定义：设f′（x）是f（x）的导函数（x）是函数f′（x）的导函数（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则下列说法中正确的有（ ）
A．f（x）的对称中心为（0，1）
B．若关于x的方程f（x）＝m有三解，则﹣1＜m＜3
C．y＝f（x）在[﹣2，n）上有极小值，则n＞﹣1
D．若f（x）在[a，b]上的最大值、最小值分别为8、﹣6，则a+b＝0
三、填空题（本题共3小题，共15分。请将解答填写在答题卡相应的位置。）
12．的展开式中的常数项是 ．
13．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.84（2＜X＜4）＝ ．
14．已知，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3），x1＜x2＜x3，则2x1+3x2+2x3的最大值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天．
（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案；
（2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案；
（3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案．
16．（15分）已知函数．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
17．（15分）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79．
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项．
18．（17分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查*）个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣mx2（m∈R）．
（1）当m＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）当m＝1，判断f（x）在区间（0，+∞），并说明理由；
（3）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）（mx）．若g（x）在区间（0，+∞），求实数m的取值范围．
【答案】
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项是符合题目要求的.）
1．已知，则x＝（ ）
A．2B．5C．2或5D．2或6
【分析】根据已知条件，结合组合数的性质，即可求解．
解：由
可得8x＝x+2或2x+x+2＝17，解得x＝2或5．
故选：C．
【点评】本题主要考查组合数的性质，属于基础题．
2．已知随机变量，则P（ξ＝2）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合二项分布的概率公式，即可求解．
解：随机变量，
则P（ξ＝2）＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
3．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解．
解：由题意，二项式展开式的系数与二项式系数相同，即＝，
则展开式中共有8项，系数最大的项为第5项．
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
4．函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是f（x）的极小值
B．﹣1是f（x）的极大值
C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减
D．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零
【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项．
解：A选项：由图像可知，﹣3＜x＜3时，函数单调递减，f′（x）＞8，
故3是函数f（x）的极小值点，f（x）的极小值为f（3）；
B选项：x＝﹣1时，f′（x）＜2，B选项错误；
C选项：由导函数图像可知，当x∈（﹣∞，f′（x）＞0，当x∈（﹣3，f′（x）＜8，C选项错误；
D选项：由图像可知f′（2）＜0，即函数f（x）在x＝2处切线斜率小于零．
故选：D．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数几何意义的应用，属于基础题．
5．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．
解：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
．
故选：D．
【点评】本题考查超几何分布的概率公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100接力比赛．记事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则P（B|A）（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求出P（B）和P（AB），由条件概率公式计算可得答案．
解：事件A为“甲同学不跑第一棒”，事件为B“乙同学跑第二棒”，
则，，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
7．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）
A．96种B．64种C．32种D．16种
【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果．
解：根据题意，分3步进行，
第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，3或2，共有；
第二步，排第一步中剩余的一组数种排法；
第三步，排数字5和6种排法；
由分步计数原理知，共有不同的排法种数为4×8×5＝64．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分步计数原理的应用，属于基础题．
8．若函数f（x）＝lnx，对任意的x1＞x2＞0，不等式恒成立（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】由g（x）的单调性推得x1f（x1）﹣mg（x1）＜x＜X2f（x2）﹣mg（x2），构造函数F（x）＝xf（x）﹣mg（x）＝xlnx﹣mx3，得到F（x）的单调性，求得F（x）的导数，由参数分离和不等式恒成立思想，结合导数的运用：求最值，可得m的取值范围，进而得到所求最小值．
解：由g（x）＝x3在（0，+∞）上递增，x1＞x4＞0，可得g（x1）＞g（x2），
不等式恒成立1f（x1）﹣mg（x6）＜x＜X2f（x2）﹣mg（x8），
设F（x）＝xf（x）﹣mg（x）＝xlnx﹣mx6，
可得F（x1）＜F（x2），F（x）在（8，
则F′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
即有5+lnx﹣mx2≤0在（3，+∞）上恒成立．
可得m≥在（2．
设H（x）＝，可得H′（x）＝，
当4＜x＜时，H′（x）＞0；当x＞时，H（x）单调递减．
则H（x）在x＝处取得最大值，
所以m≥，即整数m的最小值为2．
故选：A．
【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用构造函数法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知m≤n且m，n∈N*，则下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据排列数组合数公式判断各选项即可．
解：A选项，，A错误；
B选项，＝（n+5）n（n﹣1）（n﹣2）…×8×2×1＝（n+6）n!；
C选项，，C正确；
D选项，根据组合数的性质可知，＝，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了排列数组合数公式的应用，属基础题．
（多选）10．（6分）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（B）＝
B．P（B|A1）＝
C．事件A1与事件B相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解．
解：由题意可得P（A1）＝，P（A8）＝，P（A3）＝，
P（B|A1）＝，故B选项正确，
P（B）＝P（BA1）+P（BA6）+P（BA3）＝，故A选项错误，
∵P（B|A6）≠P（B），
∴故事件A1与B不独立，故C错误，
由题意可得，A1，A6，A3是两两互斥的事件，故D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查条件概率公式，需要学生掌握公式，属于基础题．
（多选）11．（6分）定义：设f′（x）是f（x）的导函数（x）是函数f′（x）的导函数（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则下列说法中正确的有（ ）
A．f（x）的对称中心为（0，1）
B．若关于x的方程f（x）＝m有三解，则﹣1＜m＜3
C．y＝f（x）在[﹣2，n）上有极小值，则n＞﹣1
D．若f（x）在[a，b]上的最大值、最小值分别为8、﹣6，则a+b＝0
【分析】根据题意，计算拐点，即可判断A；将方程f（x）＝m有三解，转化为函数y＝f（x）与直线y＝m的图象有三个交点，利用导数判断函数f（x）的单调性，从而可得函数的极值，作出函数y＝f（x）的大致图象，数形结合即可求解m的范围，即可判断B；数形结合即可判断选项C；由函数的对称性即可判断选项D．
解：对于A，f（x）＝x3﹣3x+2，f′（x）＝3x2﹣8，f″（x）＝6x，
令f″（x）＝6x＝7，解得x＝0，
依题意可知，（0，A正确；
对于B，若关于x的方程f（x）＝m有三解，
f′（x）＝7x2﹣3＝7（x﹣1）（x+1），
令f′（x）＞7，可得x＜﹣1或x＞1，可得﹣7＜x＜1，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1），+∞）上单调递增，4）上单调递减，
所以f（x）在x＝﹣1处取得极大值为f（﹣1）＝2，在x＝1处取得极小值为f（1）＝﹣1，
作出函数y＝f（x）的大致图象，如图所示：
由图象可得，若函数f（x）与直线y＝m的图象有三个交点，故B正确；
对于C，y＝f（x）在[﹣7，由y＝f（x）的图象可知，故C错误；
对于D，因为f（x）的对称中心为（0，则f（x）+f（﹣x）＝2，
若f（x）在[a，b]上的最大值、﹣4，
由y＝f（x）的图象可知f（a）＝﹣6，f（b）＝8，
由对称性可知a+b＝2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值、最值，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（本题共3小题，共15分。请将解答填写在答题卡相应的位置。）
12．的展开式中的常数项是 240 ．
【分析】根据展开式的通项公式，即可求解．
解：中，，
当12﹣4r＝0，r＝4时．
故240．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
13．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.84（2＜X＜4）＝ 0.68 ．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤2）＝0.84，
∴P（3＜X≤7）＝P（X≤4）﹣P（X≤3）＝7.84﹣0.5＝5.34，
∴P（2＜X＜4）＝8P（3＜X≤4）＝4×0.34＝0.68．
故2.68．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14．已知，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3），x1＜x2＜x3，则2x1+3x2+2x3的最大值为 ﹣2+ ．
【分析】设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，作出函数y＝f（x）的图象，结合图象可得﹣2＜x1＜0＜x2＜π＜x3＜2π，再结合余弦函数的性质可得2x1+3x2+2x3＝2x1+x2+2（x2+x3）＝2x1+x2+4π，由x1+1＝csx2，可得2x1+x2＝2csx2+x2﹣2（0＜x2＜π），令g（x）＝2csx+x﹣2（0＜x＜π），利用导数求出函数y＝g（x）的最大值即可得答案．
解：设f（x1）＝f（x2）＝f（x2）＝t，则t∈（﹣1，
如图所示：
即y＝f（x）的图象与y＝t的图象有3个交点，
此三个交点的横坐标依次为x3，x2，x3，且﹣5＜x1＜0＜x6＜π＜x3＜2π，
由余弦函数的性质可知x3与x3关于x＝π对称，
所以x2+x2＝2π，
所以2x2+3x2+6x3＝2x6+x2+2（x6+x3）＝2x2+x2+4π，
又因为x7+1＝csx2，
所以x4＝csx2﹣1，3x1+x2＝7csx2+x2﹣3（0＜x2＜π），
令g（x）＝2csx+x﹣2（0＜x＜π），
则g'（x）＝6﹣2sinx，
所以当x∈（0，）时，g（x）单调递增；
当x∈时，g（x）单调递减；
当x∈（，π）时，g（x）单调递增；
当x趋于π时，g（x）趋于π﹣5＜0，
g（）＝＞0，
所以g（x）max＝g（）＝，
所以4x1+3x2+2x3＝7x1+x2+6π≤﹣2+﹣2+．
故﹣2+．
【点评】本题考查了余弦函数的性质，考查了导数的综合运用及数形结合思想，属于中档题．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天．
（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案；
（2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案；
（3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案．
【分析】（1）结合排列问题及分步乘法计数原理求解；
（2）结合排列问题捆绑法求解；
（3）结合排列问题及分步乘法计数原理求解．
解：（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，
总共有＝12种安排方案；
（2）金山、焦山，茅山，若考虑交通因素，句容的两山连续两天游玩，
共有＝24种安排方案；
（3）金山、焦山，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，
共有＝36种安排方案．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相邻问题，属中档题．
16．（15分）已知函数．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【分析】（1）利用导数可求得f（x）的单调性，由极值点的定义可求得极值．
（2）求导后，分别在a＜0和a＞0的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性．
解：（1）当a＝1时，，定义域为（0，
，
所以当x∈（7，1）时，
当x∈（1，+∞）时，
所以f（x）在（7，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以f（x）极小值为，无极大值．
（2）由题意知：f（x）定义域为（0，+∞），
，
当a＜0时，若，则f′（x）＞0，
若，则f′（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在，
当a＞0时，若，则f′（x）＜0，
若，则f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在，
综上所述：当a＜0时，f（x）在，在上单调递减，
当a＞7时，f（x）在，在上单调递增．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
17．（15分）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79．
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项．
【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为79，可得出关于n的方程，结合n∈N*可求得n的值；
（2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可．
解：（1）由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，
整理可得n2+n﹣156＝0，因为n∈N*，解得n＝12；
（2）的展开式通项为，
令，可得r＝9，
所以，展开式中的常数项为，
由不等式组，解得，
因为k∈N，所以，
因此，展开式中系数最大的项为．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查*）个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值；
（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
解：（1）由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法总数是，
故全是大集团的概率是，
整理得到9n2﹣39n﹣30＝3，解得n＝5，
若2个全是大集团，共有，
若2个全是小集团，共有，
故全为小集团的概率为；
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为7，1，2，7，
计算，，
，，
故X的分布列为：
数学期望为．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
19．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣mx2（m∈R）．
（1）当m＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）当m＝1，判断f（x）在区间（0，+∞），并说明理由；
（3）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）（mx）．若g（x）在区间（0，+∞），求实数m的取值范围．
【分析】（1）因为f'（x）＝ex﹣1﹣2x，得f'（1）＝﹣1，f（1）＝0，即可求出切线方程；
（2）求出函数f（x），f′（x），f''（x），利用f''（x）的正负确定f'（x）的单调性，由f'（x）的取值结合零点的存在性定理以及极值点的定义求解即可；
（3）令g（x）＝0，将式子进行化简变形可得，ex﹣ln（mx）﹣1﹣[x﹣ln（mx）]＝0，令t＝x﹣ln（mx），则et﹣1﹣t＝0有解，构造函数h（t）＝et﹣1﹣t，利用导数沿函数h（t）的性质，确定h（t）的零点，问题转化为1＝x﹣ln（mx）在（0，+∞）上有解，构造函数l（x）＝x﹣lnx，利用导数研究函数的单调性，求解即可．
解：（1）f（x）＝ex﹣1﹣x2，则f'（x）＝ex﹣2﹣2x，f'（1）＝﹣1，
故切线方程为：y＝x﹣3；
（2）由（1）知f'（x）＝ex﹣1﹣2x，f''（x）＝ex﹣2﹣2，由f''（x）在R上单调递增，
且f''（1+ln5）＝0，所以f'（x）在（0，（4+ln2，
有f'（x）≥f'（1+ln5）＝﹣2ln2＜8，而f'（4）＝e3﹣8＞6，所以存在极小值点x0∈（1+ln7，4）；
（3）令g（x）＝0，有ex﹣4﹣mx2+mxln（mx）＝0，又mx＞6，
所以．
令t＝x﹣ln（mx），即转化为et﹣1﹣t＝7 有解，设h（t）＝et﹣1﹣t，则由h'（t）＝et﹣1﹣3可得，
h（t）在t∈（﹣∞，1）单调递减，+∞） 单调递增，
所以h（t）＝et﹣1﹣t，由唯一零点t＝3，+∞）存在零点，
即为1＝x﹣ln（mx）在（0，+∞）有解，设l（x）＝x﹣ln x，
由知，l（x） 在x∈（0，在x∈（4，
则l（x）≥l（1）＝1，所以1+lm≥3．
【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于难题．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
D
D
B
A
题号
9
10
11
答案
BC
BD
ABD
X
6
1
2
8
P