江苏省苏州市昆山经济开发区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份江苏省苏州市昆山经济开发区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案），共22页。试卷主要包含了 已知函数那么下列说法正确的是， 对于函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟.
2.答题前，务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.
3.请将答案填涂填写在答题卷上，写在试卷上无效.
一、单选题：本大题共8题，每题5分，共计40分.
1. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D. 和
【正确答案】B
【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.
【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.
故选：B
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
2. 设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A. 2B. C. -1D. -2
【正确答案】B
【分析】由已知及导数的定义求即可.
【详解】由题设，.
故选：B
3. 函数的导数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】B
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.
【详解】
．
故选：B.
4. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围.
【详解】因为函数在上无极值,
所以在上无变号零点，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
5. 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A. 240B. 360C. 480D. 600
【正确答案】C
【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.
【详解】将区域标号，如下图所示：

因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
6. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
7. 若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. eD.
【正确答案】A
【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值.
【详解】由可得，
由,且,所以，即，
令，则在上单调递增，
所以，令，则,
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以，故.
故选：A.
关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.
8. 已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将已知不等式变形为，可得出，令，利用导数求出的取值范围，可得出，然后分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二、三种情况下，结合参变量分离法可求出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，，即，即，
因为，故，故，
令，其中，则，
由可得，由可得，所以，
由题意可得恒成立，
当时，显然该不等式成立，此时，；
当时，则，令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，；
当时，则，令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则.
综上所述，，即实数的取值范围是.
故选：D.
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
二、多选题：本大题共3题，每题6分，共计18分.
9. 已知函数那么下列说法正确的是（ ）
A. ，在点处有相同的切线
B. 函数有一个极值点
C. 对任意恒成立
D. ，的图象有且只有两个交点
【正确答案】BD
【分析】对于A，利用导数证明切线斜率不同否定即可，对于B，构造新函数，用导数判断极值点即可，对于C，举反例否定即可，对于D，先将交点问题转化为零点问题，求出确定的零点，并证明其唯一性，再利用零点存在性定理找到另一个零点即可.
【详解】对于A，，，，故A错误.
对于B，令，，
令，，令，，
所以在上单调递减；在上单调递增，
所以有极小值，无极大值， 故函数有一个极值点，故B正确:
对于C，，显然，故C错误:
对于D，若，的图象有且只有两个交点，则有2个零点，
，结合，
显然，故是函数的一个零点，而易知，
且在上单调递减，故在该区间上不存在其它零点，
而易知上单调递增，且，
故由零点存在性定理得一定存在作为零点，
综上有2个零点，也即，的图象有且只有两个交点，故D正确.
故选：BD
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 当时，方程有两解
【正确答案】ACD
【分析】A.利用导数法求解判断； B.由A画出函数图象判断； C.根据在递减，结合判断； D.由A知：画出函数的图象判断.
【详解】A.，当时，，递增；当时，，递减，所以在处取得极大值，故正确；
B.由A画出函数图象如图所示：
当时，，当时，，当时，，又，所以只有一个零点，故错误；
C.因为在递减，又，则，而，
令，则，当时，，递减，又，则，即，
即，所以，故正确；
D.由A知：函数的图象如图所示：
由图象知：当时，方程有两解，故正确，
故选：ACD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上是增函数
B. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C. 若在上为减函数，则
D. 当时，若函数有且只有一个零点，则
【正确答案】BD
【分析】利用导数研究函数的单调性判断A；导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断B；问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围判断C；问题化为有唯一解，应用导数研究右侧的单调性和值域判断D.
【详解】对于A，为增函数，时趋向负无穷，时趋向正无穷，
所以存在使，故上在上为减函数，错；
对于B，由题设，则，且，
所以在处的切线方程为，
切线与轴的交点坐标为，与轴交点坐标为，
所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，对；
对于C，因为函数在上为减函数，
则在上恒成立，即，
令，则，易知时，时，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，错；
对于D，函数有且只有一个零点，
即有唯一解，则，
令且，则，
令，显然在上为增函数，，
则，使得，易知时，时，
则在为减函数，在为增函数，则，
当时，，
所以有且只有一个解时，，即，对.
故选：BD
关键点点睛：对于C、D，化为在上恒成立、有唯一解为关键.
三、填空题：本大题共3题，每题5分，共计15分.
12. 已知函数，曲线在点处的切线方程为__________．
【正确答案】
【分析】利用导数的运算求出原函数的导函数，应用导数的几何意义求切线方程即可.
【详解】由题设，且，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故
13. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______
【正确答案】
【分析】分离参数，问题转化为直线与函数图象有两个交点，求导分析单调性，画出的图象，数形结合即可得到的取值范围.
【详解】∵，∴.
当时，由得，，
当时，由得，，
令，则直线与函数的图象有两个交点，
当时，，函数在上是减函数，
当时，，
由得，由得，
∴在上为减函数，在上为增函数，且当时，函数极小值为，
当时，，当时，，函数图象如图所示，
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点，
∴实数的取值范围是.
故答案为.
关键点点睛：解决此题的关键是分离参数，把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，在画函数图象的过程中常借助导数分析单调性.
14. 已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】由，得，利用，可求得，利用导数证明在上递增，等价于，由单调性可得结果.
【详解】由，
得，
，
令，
，
，，
令，
当时，，当时，
在上递减，在上递增，
，
在上递增，
，
，
可得，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为:.
利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等.
四、解答题：本大题共5题，共计77分.
15. 已知函数，且当时，有极值－5．
（1）求的值；
（2）求在上的值域．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可；
（2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域
【小问1详解】
由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
【小问2详解】
由（1）知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
16. 已知函数
（1）若直线与曲线相切，求a的值；
（2）若存在，使得，求a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）．
【分析】（1）求，设切点为，根据可得a的值.
（2）根据的范围确定函数定义域，结合导函数分析函数的单调性，利用可求a的取值范围．
【小问1详解】
∵，∴．
设切点为，则，即，解得．
【小问2详解】
当时，由得，∴的定义域为．
由得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴．
∵存在，使得，∴，结合，解得．
当时，由得，∴的定义域为．
由得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴．
∵存在，使得，∴，结合，解得．
综上，的取值范围为．
17. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数.
（1）若在区间上不是单调函数，求a的取值范围；
（2）若方程有两个不等实根，求a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）设，利用在区间上有变号零点，列不等式来求得的取值范围.
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【小问1详解】
，设，
若在区间上不是单调函数，
则在区间上有变号零点，
在上单调递增，
所以，解得.
所以a的取值范围是.
小问2详解】
若有两个不等实根，，即不是的根.
所以当时，有两个不等实根，
令，，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递减，
当时，，当时，，
所以，是的极小值点，且极小值为，
当时，；当时，，
画出函数的大致图形，则的取值范围是，
所以的取值范围是
18. 已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）若，总存在，使得，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值.
（2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
令，则由，可知的取值范围为，
故原函数可化为，
由对勾函数性质，可知在上单调递增，
因此在时取到最小值，此时，
所以当时，在上取到最小值.
【小问2详解】
依题意，
故当时，
因为，总存在，使得，
设在上取值的集合为集合，则有.
当时，显然有在区间上单调递增，
此时，
由可知，解得
当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
因此有，即，
因为时，，故时，在上单调递增，
此时，
由此可得无解，
综上，实数的取值范围为.
方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况.
19. 已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．
【正确答案】（1）极大值为，无极小值．
（2）分类讨论，答案见解析.
（3）1
【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得；
（2）求导，分，讨论可得；
（3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得.
【小问1详解】
的定义域为，
当 时，，
令，解得
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以在时取得极大值为，无极小值．
【小问2详解】
因为
当时，在上恒成立，此时在上单调递增；
当时
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
【小问3详解】
因为对任意，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则．
设，，则在上单调递减，
因为，，
所以，使得，即．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
因为，所以，
故整数的最小值为1．
本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解.－4
－1
3
4
+
0
－
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值－5
单调递增