辽宁省实验中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省实验中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为的圆（如图2），，，分别为圆周上的点，其中，，现将扇形，分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（ ）

A．B．C．D．
5．将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10B．13C．18D．26
8．已知函数，若存在满足，且，则m的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．若，则；
D．若，则或．
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．图像对称中心为
B．最小正周期为
C．的单调递增区间为
D．若，则
11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．当时，水深度达到
D．已知函数的定义域为，有个零点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，与的夹角为，与的夹角为锐角，则的取值范围 ．
13．已知和是夹角为的两个单位向量，且，则的最小值为 ．
14．已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
16．已知向量．
(1)当且时，求；
(2)当，求向量与的夹角．
17．已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
18．某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．
(1)若，求和的长；
(2)求关于的函数表达式；
(3)若，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
19．“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题．例如要求的取值范围，只需设，即，使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可．
(1)当设时，利用上述内容求的取值范围；
(2)利用恒等式和，求和的最小值；
(3)已知：若，则有．现有实数x，y满足，求二元函数的最大值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，又为锐角，故，则.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角.
故选B.
3．【答案】D
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是；
对于B，函数是偶函数，B不是；
对于C，，函数不是奇函数，C不是；
对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D是.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由题意，先求出弓形的面积为,
则,
,
故.
故选B.
5．【答案】A
【详解】函数向左平移个单位长度，
得到，
横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到，
向上平移1个单位长度，得到，
则，又，解得，
则.
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，
则，可得，①
，可得，②
联立①②可得，
所以，，
因此，
.
故选D.
7．【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求出与，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选B．
8．【答案】D
【详解】因为，所以，
因为，
要使m的最小，须取，即.
故选D.
9．【答案】BC
【详解】已知非零平面向量，
若，则，所以，或与垂直，故A错误；
若，则与同向，所以，故B正确；
若，则，所以，则，故C正确；
若，则，所以，不一定有或，故D错误．
故选BC．
10．【答案】BCD
【详解】对于A，令，则，A错误；
对于B，的最小正周期为，故B正确；
对于C，由，可得，
所以的单调递增区间为，故C正确；
对于D，由，可得，可得，
所以，所以，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D.
【详解】对A，由图知，，，；
的最小正周期，；
，，解得：，
又，，，故A正确；
对B，令，，解得，，当时，，
则，则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，
则，令，则根据图象知两零点关于直线，
则，即，则，则，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】且
【详解】与的夹角为锐角，等价于，且与不能共线且同向.
由，得，即，
所以，解得；
若与共线且同向时，设，即，，
因为与不共线，所以，解得，
综上，的取值范围为且.
13．【答案】
【详解】建立平面直角坐标系并表示向量坐标如图所示，
设，，
设，.
确定终点的轨迹：
已知，则，即，所以，
这表明向量的终点在直线上.
确定终点的轨迹：
已知，则，
这表明向量的终点与点的距离为.
，其最小值为点到直线的距离减去
而，
所以的最小值为：.
14．【答案】18
【详解】依题意，，解得，
，而，则，
，由，得，
由在区间上有且仅有两个零点，得，解得，
于是，或，当时，，，不符合要求，
当时，，，符合题意，
所以.
15．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题可知
原式
（2）,两边平方可得，解得
，又
，则
所以
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为向量
则，，
又因为，则，
可得，解得或，
且，则，则，，
所以.
（2）由，则，
由，可得，解得，即，
可得，，，
则，
且，所以向量与的夹角.
17．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）由题可知，的最小正周期，则，
则，，即，．
因为，所以．
又，所以，得．
故．
（2）令，
得，
则的单调递减区间为．
（3）由，得．
由，得．
因为方程在内恰有两个不相等的实数根，所以，
解得，即的取值范围为．
18．【答案】(1)，；
(2)，；
(3)11
【详解】（1）由题意得，，，
故，故，
当时，，
故，；
（2）由（1）可得，，
，，
（3）令，则，
即①，
设②，
式子得，解得，
当时，，解得，
因为，所以，而，不合要求，舍去；
当时，，解得，满足要求，
此时，
设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为，
则顶点到线段距离为，
由图及题意可得，，
由（1）可得，
故，
，，
故，
由，解得，故取，
则该路段改造后的停车位比改造前增加个.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，可设，
所以，所以，又为轴上方的半圆，
故直线与有公共点，所以，
所以，又直线过点时，，
又直线在轴上的截距为，所以，
所以的取值范围为；
（2）设，则，则，由（1）可得，所以的最小值为；
当时，
，
表示点到点和的距离之和，
所以.
当时，
，
表示点到点和的距离之差，
所以.
的最小值为.
（3）因为，故，故，同理.
由已知得若，则有．
令，则，且；
设，
由
，
所以
，
所以可得
，
其表示点到点和的距离之差再加上，
所以，
当且仅当，
即，此时满足.