2024-2025学年河南省焦作市普通高中高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省焦作市普通高中高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z2−3i=−3+i，则z=( )
A. 913+713iB. 913−713iC. −913−713iD. −913+713i
2.已知函数f(x)=csπx，则f′13=( )
A. − 3π2B. 3π2C. −π2D. π2
3. x−2x9的展开式中常数项为( )
A. −84B. −672C. 84D. 672
4.记Sn为等差数列an的前n项和，已知S8−S7=0，a1=73，则a5=( )
A. 2B. 1C. 12D. 0
5.已知底面半径为1的圆锥的体积为2π3，则该圆锥的侧面积为( )
A. 2π3B. 5π3C. 2πD. 5π
6.已知Sn是数列an的前n项和，an+1+an=5×2n+n，则S10=( )
A. 2575B. 3435C. 4345D. 5135
7.若函数f(x)=13ax3−x2+a2x+b在x=1时取得极大值0，则a+b=( )
A. 23B. 23或−133C. −133D. 43
8.已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，经过坐标原点的直线与C交于P,Q两点，若|PF|=2|QF|，则|PQ|=( )
A. 103B. 2 303C. 2 313D. 8 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2cs2x−π8−1，则( )
A. π是f(x)的周期B. f(x)在区间π6,2π3上单调递减
C. fx+3π8是奇函数D. f(x)在区间(0,π)上恰有2个零点
10.已知数列an的通项公式是an=n+122−3n，前n项和为Sn，则( )
A. 数列13an+1是等差数列B. 存在n∈N∗，使得an+10,b>0)的左、右焦点，过点F2的直线与C的右支交于A，B两点，若AF1+BF2=5AF2，F1A+F1F2⋅AF2=0，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，a2+a6=20，S11=176．
(1)求an的通项公式；
(2)已知bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
记Sn为数列an的前n项和，a1=1，an+1=2Sn+1．
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=anlg3an+1，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=−2alnx+12x2+x(1−2a)(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=12时，求证：f(x)−12x2+ex−2>0．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥M−ABC中，P，Q分别是AB，MC的中点，AC=BC=MA=MC=MP=2，AB=2 2．

(1)证明：平面MAC⊥平面ABC；
(2)求直线PQ与平面MAB所成角的正弦值；
(3)求三棱锥M−PQB的外接球的表面积．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为D，数列an满足an∈D，若存在数列bn满足bn∈D，bn≠an，且fbn=fan，则称bn为an关于f(x)的对称数列．
(1)若f(x)=x+1x，an=n+1，求数列an关于f(x)的一个对称数列；
(2)已知函数g(x)=x2−kx，数列bn为数列an关于g(x)的对称数列，且an>0，bn>0，证明：anbn0，当00时，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增．
(2)当a=12时，由f(x)−12x2+ex−2>0，得ex−lnx−2>0，
设g(x)=ex−lnx−2，则g′(x)=ex−1x(x>0)，
设ℎ(x)=ex−1x，则ℎ′(x)=ex+1x2>0，则ℎ(x)即g′(x)在(0,+∞)内单调递增，
∵g′13=3e−30，
∴存在x0∈13,1，使得g′x0=0，即ex0−1x0=0，即ex0=1x0，x0=−lnx0，
当00．
18.解：(1)

设O为AC的中点，如图，连接MO，PO，
∵AC=BC=2，AB=2 2
则AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
∵P是AB的中点，∴OP//BC，OP=12BC=1．
又MA=MC=MP=2，
则▵MAC是边长为2的正三角形，∴MO⊥AC，MO= 3，
∴MO2+OP2=MP2，∴MO⊥OP．
∵PO∩AC=O，OP⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴MO⊥平面ABC，
∵MO⊂平面MAC，∴平面MAC⊥平面ABC．
(2)由(1)知，OA、OP、OM两两垂直，
以O为坐标原点，OA，OP，OM的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图，
因为P，Q分别是AB，MC的中点，AC=BC=MA=MC=MP=2，
则A(1,0,0)，B(−1,2,0)，M0,0, 3，P(0,1,0)，C(−1,0,0)，Q−12,0, 32，
∴PQ=−12,−1, 32，AB=(−2,2,0)，AM=−1,0, 3．
设平面MAB的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AB=−2x+2y=0m⋅AM=−x+ 3z=0，令z=1，得x=y= 3，
∴平面MAB的一个法向量为m= 3, 3,1．
设直线PQ与平面MAB所成的角为θ，
则sinθ=|m⋅PQ||m|⋅|PQ|=−12× 3−1× 3+ 32×1 32+ 32+12× −122+(−1)2+ 322= 4214，
∴直线PQ与平面MAB所成角的正弦值为 4214．
(3)设三棱锥M−PQB的外接球的球心为H(a,b,c)，半径为R，则HM=HP=HB=HQ，
即 (a−0)2+(b−0)2+c− 32= (a−0)2+(b−1)2+(c−0)2 (a−0)2+(b−0)2+c− 32= (a+1)2+(b−2)2+(c−0)2 (a−0)2+(b−0)2+c− 32= a+122+(b−0)2+c− 322,
解得a=−12，b=32，c=5 36，所以H−12,32,5 36，
则HB=12,12,−5 36，
∴R2=HB2=122+122+−5 362=3112，
∴三棱锥M−PQB的外接球的表面积为4πR2=31π3．
19.解：(1)由题知，数列1n+1是an关于函数f(x)的一个对称数列．
理由如下：
由题知，f(x)=x+1x，定义域为x∈Rx≠0 ，
∵对任意n∈N∗，n+1∈x∈Rx≠0 ，1n+1∈x∈R∣x≠0，n+1≠1n+1，
f(n+1)=n+1+1n+1，f1n+1=1n+1+11n+1=n+1+1n+1，
∴f(n+1)=f1n+1，
∴数列1n+1是an关于函数f(x)的一个对称数列．
(2)由题知，gan=gbn，
∴an2−kan=bn2−kbn，
∴an+bnan−bn−kan−bn=0，即an+bn−kan−bn=0，
∵an≠bn，∴an+bn=k，
∴anbn0，
∴t(x)在区间(1,+∞)内单调递增，∴t(x)>t(1)=0，
∴tx2=x2−2lnx2−1x2>0，
∴cndn