第七章　§7.7　向量法求空间角-2026年高考数学大一轮复习课件（含试题及答案）

这是一份第七章　§7.7　向量法求空间角-2026年高考数学大一轮复习课件（含试题及答案），共24页。PPT课件主要包含了落实主干知识，第一部分，探究核心题型，第二部分，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
3.平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ=|cs〈n1，n2〉|= .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(　　)(4)二面角α-l-β的平面角与平面α，β的夹角相等.(　　)
4.已知点O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(-1，1，2)，C(-1，0，-1)，则异面直线OC与AB所成角的余弦值为　　. 
(1)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.(2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ=|cs〈a，n〉|.(3)平面与平面的夹角和二面角的概念不同.
跟踪训练1　若在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=∠BAC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1=AC=AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为　　　. 
(2)求直线CC1与平面A1B1C所成角的正弦值.
利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练2　(2025·济南模拟)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ABC⊥平面BCFE，AF⊥DE，∠ABC=∠CBF=45°，AC>AB=1.(1)求三棱台ABC-DEF的高；
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角.
利用法向量的方向判断二面角
典例　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱AB的中点，则二面角D1－EC－D的余弦值为　　. 
利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
由B'C=BC，所以CQ⊥BB'，且AQ∩CQ=Q，AQ，CQ⊂平面ACQ，所以BB'⊥平面ACQ，又AC⊂平面ACQ，所以AC⊥BB'，又BB'∩A'B=B，BB'，A'B⊂平面ABB'A'，所以AC⊥平面ABB'A'，AC⊂平面ABC，故而平面ABB'A'⊥平面ABC.(2)如图，取A'B'的中点F，连接AF，由(1)知AB⊥AC，AC⊥AF，
(1)方法一　由棱台定义可知AA1与CC1共面，且平面ABCD∥平面A1B1C1D1.又平面ABCD∩平面ACC1A1=AC，平面A1B1C1D1∩平面ACC1A1=A1C1，所以AC∥A1C1.连接AC交BD于点O，如图，则O为AC的中点.因为BC=2B1C1=2，所以A1C1=AO.所以四边形A1AOC1是平行四边形，所以AA1∥OC1.又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1.
一、单项选择题1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于A.40°B.50°C.130°D.以上均错
三、填空题9.(2025·沧州模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长与侧棱长之比为1∶3，则平面DA1B与平面A1BC1夹角的余弦值为　　. 
12.(2024·厦门模拟)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，B1C1=1. (1)证明：AA1∥平面BDC1；
(2)若AA1⊥BD，BC1=CC1=2，求平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值.
14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M，N分别在棱BC，AB上，且满足AN=BM，当三棱锥D-MNB1的体积最小时，B1M与平面A1MN所成角的正弦值是　　　.