广东省广州市2025届高三下学期综合测试（一）数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市2025届高三下学期综合测试（一）数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. 1C. D. i
【答案】B
【解析】因为，所以，所以的虚部为1.
故选：B
2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
因，则，则实数的取值范围是.
故选：D.
3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
因为点是线段的中点，
所以，
又，
所以，
所以，
故选：C
4. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出示意图如图所示：
设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，
所以，所以，
因为球的表面积为，所以，解得，所以，
所以，
所以圆台的侧面积为.
故选：B.
5. 已知点在双曲线上，且点到两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】设.
∵点在双曲线上，，即.
又双曲线的两条渐近线分别为和，
点到双曲线的两条渐近线的距离之积为：
，
，即.
又，，，
.
故选：D.
6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设函数，
作出函数图象如下，
设，
对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，A错误；
对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，C错误；
因为，所以，
设，
作出函数的图象如下，
对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，B正确；
对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，D错误；
故选:B.
7. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设曲线与相邻的三个交点为，
，
解得，
不妨取，则，
所以，
则，
由题意得为直角三角形，
所以，即，解得，
故选：A．
8. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以，则，
由，
得，
又因为函数在上单调递减，且，
则函数在上单调递增，
则时，，当时，，
则当时，，
当时，，
所以的解集为，的解集为，
由于不等式的解集为，
当时，不等式为，
此时解集为，不符合题意；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
要使不等式的解集为，
则，即；
当时，不等式解集为，
不等式解集为，
此时不等式的解集不为；
综上所述，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ）
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 两组数据的极差相等
D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
【答案】AD
【解析】第一组数据从小到大排序为：，
其平均数为，
其方差为，
其极差为，
其中位数为：；
第二组数据从小到大排序为：，
其平均数为，
其方差，
其极差为，
其中位数为：
所以AD正确，BC错误；
故选：AD.
10. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ）
A.
B. 当时，
C.
D. 当且时，
【答案】ACD
【解析】由，则，
则函数的定义域为，
则，，
则，
因为函数在处取得极大值，
所以，即，
此时，
则，
令，得或；
令，得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确；
由上述可知函数在上单调递减，
当时，，则，故B错误；
由，
则，
，
所以，故C正确；
因为，，则，
又函数在上单调递增，则，
所以，
又，
则，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）
A. 曲线上存在到原点的距离超过的点
B. 点在曲线上
C. 曲线与直线有两个交点
D.
【答案】BCD
【解析】设与切于点，则始终关于点对称.
所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，，
如图，连接，，延长与轴交于点，
过作轴于点，
，
，
，
则，
即曲线的参数方程为，为参数，.
对于A，，
上不存在到原点的距离超过的点，A错；
对于B，若在上，则，
由①解得或0，
验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确；
对于C，由，将曲线的参数方程代入得
，
即，
，
如下图，分别作出与的大致图象，
可知两函数图象共有两个交点，故C正确；
对于D，，
，
，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则_______．
【答案】
【解析】由，
得，则，
所以.
故答案为：.
13. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种．

【答案】12
【解析】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，

排在位置，有种方法，
从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法，
最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法，
所以填写方格表的方法共有（种）.
故答案为：12
14. 在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______．
【答案】
【解析】由题意可知：，
则，
可知，
因为三棱锥为正三棱锥，则点在底面内的投影为底面的中心，
取中点，则，，
设点在平面、平面和平面内的投影分别为、和，
根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体，
则平面，平面，则，即，
同理可知：，
由长方体的性质可知：，
可得，即，
又因为平面，平面，
则，可得，
可知点在以点为圆心，半径的圆上，
因为，可知与圆相交，
设圆与交于两点，则，
可知为等边三角形，则，
结合对称性可知点运动路径的长度为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
解：（1）因为，
根据正弦定理得：
又，所以，
所以，
即，
所以，或（舍），
所以.
（2）根据正弦定理得，即，
有余弦定理，得，
解得或，
当时，，，，则，，
而，矛盾，舍去，故，
所以的面积为
16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：因为底面为矩形，，所以，
设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为，
所以，所以，
又侧面是等边三角形，且，
取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：取的中点，连接，则，
故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17. 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为．
（1）求；
（2）求；
（3）比较与的大小，并说明理由．
解：（1）由题意知，
，
所以；
（2）由题意知，，
所以，
所以，
则；
（3）由题意知，
则，
所以，（当时取等号）
所以.
18. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点．
（i）证明：直线；
（ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由．
解：（1）由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以，即．
（2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为，
设直线与相交于两点，不妨设，
由得，，则，
由得，，则点处的斜率为，
则点处的切线方程为，
令，得，即点，
直线的方程为，令，得，即，
所以直线的斜率，
所以，即直线．
（ii）连接，
由（i）得，，所以，
又因为，所以轴，即四边形为平行四边形，
由得，
，
若四边形的面积为12，则，
整理得，
令，则，
设，则，
所以在单调递增，又，
所以存在，使得，
所以上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以有2个零点，即有2个根，
所以四边形的面积为12的直线共有2条．
19. 已知且，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集．
（1）判断集合是否是的子集？说明理由；
（2）判断是否为集合的变换函数？说明理由；
（3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由．
解：（1）当函数时，
，
此时函数是集合的变换函数，
∴集合是的子集.
（2）函数在定义域上单调递减，
当时集合，其中，
假设函数为集合的变换函数，
则，
即，即，
由①-②，得，
整理后得，
∵即，∴，
而由①式易得，显然产生矛盾，
即函数不是集合的变换函数.
（3）设中满足首项为1，公比为的等比数列，
，则 ，满足，
设，则对且，，
而且时，，及有个不同元素，即能覆盖所有元素.
又∵的图象在区间上是一段连续曲线，
∴存在函数，使得集合是的子集.