山东省淄博市2025届高三下学期模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省淄博市2025届高三下学期模拟考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）．
A. RB. C. D.
【答案】B
【解析】,
,
,
故选：B.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D. 125
【答案】B
【解析】，则，则，则.
故选：B.
3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，因为，
所以，解得，，
即向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
4. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，所以该圆锥的表面积为.
故选：C
5. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A. 0.24B. 1C. 0.5D. 0.52
【答案】C
【解析】已知王同学第一天随机选择一家餐厅用餐，那么去A餐厅的概率为
（因为只有A、两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是）.
又已知如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为
（表示在第一天去A餐厅的条件下，第二天去A餐厅的概率）.
根据条件概率公式
（其中、为事件，表示与同时发生的概率），
可得第一天去A餐厅且第二天去A餐厅的概率为：
同理，第一天去餐厅的概率为.
已知如果第一天去餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为
（表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去A餐厅的概率）.
根据条件概率公式，可得第一天去餐厅且第二天去A餐厅的概率为：
因为“第一天去A餐厅且第二天去A餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去A餐厅”
这两个事件是互斥的（即这两个事件不可能同时发生），
所以根据互斥事件的概率加法公式
（其中、为互斥事件，表示或发生的概率），
可得王同学第二天去A餐厅用餐的概率为：
故选：C
6. 已知函数满足，当时，，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 18
【答案】C
【解析】因为，所以．
因为，所以．
故选：C.
7. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示：
令，解得，
故当时，对称轴为直线，则，
因为，所以，
又因为，
，
由可得，则，则，
所以，.
故选：D.
8. 数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过
C. 曲线与有8个交点
D. 曲线所围成图形的面积小于2
【答案】C
【解析】对于A，在方程中，以替代方程不变，所以曲线关于轴对称，
同理，以；替代方程均不变，所以曲线关于轴，坐标原点对称，如图，故A正确；
对于B，曲线上点到轴的距离为，到轴的距离为，
由，当且仅当时取等号，
，故B正确；
对于C，在第一象限内，，所以曲线在直线的下方，
所以两者有4个交点，分别为，故C错误；
对于D，如图，围成的正方形面积为，
所以曲线围成图形的面积小于2，故D正确.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选借的得0分．
9. 随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 是增函数
C. 是偶函数D. 的图象关于点中心对称
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，当增大时，减少，
所以在上是减函数，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，若的图象关于点中心对称，则，
因为服从正态分布，所以关于对称，
所以，
则，故D正确.
故选：AD.
10. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60°
D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
所以，即 ，
所以，又，
所以，
所以，所以，故A正确；
因为，，所以点在直线上，
又因为，，所以四边形是平行四边形，
所心，又平面，平面，所以平面，
所以到平面的距离为定值，又的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
点为的中点，坐标为，点的坐标为 ，
向量，向量，
设直线与直线所成的角为，
，
又因为，当 时，，
即直线与直线所成角的最小值为，故C错误；
因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形，
过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心，
因为平面，所以，又，
所以三棱锥外接球的半径，
因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上，
所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，
又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为，
所以 的轨迹的周长为 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 数列的前项和为D.
【答案】ABD
【解析】设直线，联立，
得，
则由，即，
解得（负值舍去），故A正确；
可得，，
所以，故B正确；
因为，则，故C错误；
因为，，
所以，
设，则，
可得在上单调递增，
则时，，
又，则，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列的各项为正数，首项和为，若，则公比______．
【答案】
【解析】由，则，
由，，则，
整理可得，分解因式可得，
解得或（舍去）.
故答案为：.
13. 在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为______．
【答案】
【解析】已知，根据二倍角公式，则有.
因为为锐角，即，等式两边同时除以可得：.
已知，将其代入可得：，解得.
因为为锐角，根据，可得.
由正弦定理，已知，，，则.
因为，根据大边对大角可知，又因为为锐角，所以也为锐角.
根据，可得.
因为，所以，
则
.
故答案：
14. 如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________.
【答案】
【解析】由题知，玩家从起点方格出发，每次向右或向下移动一格，可以顺利到达终点，即为挑战成功，反之挑战失败.
用表示第行第列含有陷阱的方格，
则第1行含有陷阱的方格为，
第2行含有陷阱的方格为，
第3行含有陷阱的方格为，
所以每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）共有个基本事件，
具体如下：
，，，，
，，，，
，，，，
玩家挑战失败的基本事件有，，，
，，，，共个，
所以玩家挑战失败的概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．

（1）规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表：
请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？
（2）从“指数”在第一组和第二组所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望．
附：．
解：（1）
，
所以有的把握认为优质水源日出游与性别有关.
（2）根据题意，第一组有天，第二组有天，
所以的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为
.
16. 已知双曲线，离心率，点在双曲线上
（1）求双曲线标准方程；
（2）点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程．
解：（1）由题意可得，则，即，
又因为点在双曲线上，所以，
解得：，所以双曲线的标准方程为：.
（2）因为的周长为12，所以①，
由双曲线的定义可得：，
所以②，
所以由①②可得：，
由（1）知，，所以，
因为直线的斜率不为，所以设，
则联立直线与双曲线可得，
当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以，
，
所以，
所以，
解得：（舍去）或，所以，
直线的方程为：，即.
17. 如图，在四棱锥中，，，点在上，且．
（1）点在线段上，且平面，证明：为线段的中点；
（2）若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度．
解：（1）连接，过点作交于点，连接，
又因为，所以，所以四点共面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，所以为线段的中点；
（2）连接，因为，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面所以平面
又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
，设平面的法向量为，
，
所以，令，，所以，
所以与平面所成的角的余弦值为，
所以与平面所成的角的正弦值为，
即，
所以，化简可得：，
解得：或，即或，
所以或.
18. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：时，；
（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．
解：（1）函数的定义域是，，
当时，；当时，．
所以，的增区间为，减区间为.
（2）要证时，，即证在恒成立，
令，，
，
令，，
当时，，，
所以在上单调递减，所以，
则，所以在上单调递减，
所，所以，
综上，时，；
（3）不等式等价于不等式，
由可得：，
设，，
则，
设，函数的定义域是，
，
设，则，
令，则，
时，，在上为增函数，
时，，在上为减函数，
∴在处取得极大值，而，
∴，函数在上为减函数．
于是当时，，当时，，
∴当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
故函数增区间为，减区间为，
所以，所以，即
∴，，于是在上为减函数，
故函数在上的最小值为，
所以，所以整数的最大值为．
19. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为：（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为．
（1）求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）；
（2）求证：；
（3）定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点做斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：．
（1）解：根据题意，动点的轨迹方程为，
将上式两边平方并化简得：．即，
故动点的轨迹方程，
则参数方程为.
（2）证明:
.
（3）解：设，
，则，
则，
同理，
因此，
所以，
即，
所以，
下面证，
，
同理，
因此.
即平行。
男市民
女市民
合计
优质水源日出游
12
30
非优质水源日出游
6
合计
50
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男市民
女市民
合计
优质水源日出游
12
18
30
非优质水源日出游
14
6
20
合计
26
24
50
0
1
2
3