江苏省宿迁市部分中学2025届高三下学期一模数学试卷（解析版）

这是一份江苏省宿迁市部分中学2025届高三下学期一模数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，
就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：.
故选：D.
2 若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，解得.
所以.
故选:C.
3. 若，，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】A
【解析】，，则，
，，
，
故选：A
4. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可得，则，即．
因为，所以．
故选：A
5. 已知平面向量为单位向量，若，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】已知，根据向量模长公式，可得.
展开得到.
因为，是单位向量，所以，即，.
代入上式可得，解得.
同样根据向量模长公式，.
将展开得到.
把，，代入可得：.
所以.
故选：B.
6. 已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（ ）
A. 1B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】由题可知，直线的斜率存在.
设直线的方程为，．
由得，故．
又，，所以．
圆的圆心为，半径，
所以，．
又，，
所以，，
所以.
故选：B．
7. 双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】设双曲线左焦点，则过点且斜率为1的直线方程为，
与渐近线方程联立可得、，
故中点坐标为，则有，
即，，
，，故选B．
8. 已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确的命题是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ①②③④
【答案】A
【解析】①因为，，所以，由可知，故正确，②，，可能在内或与平行，推不出，故错误，③，可推出,又，所以，故正确, ④若相交交线为m,则，推不出，故错误.
综上可知选A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 用“五点法”画函数（，，）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】由表可知，且，解得，
所以，故A正确；
令，即，即，，
解得，，
所以不等式的解集为，，故B错误；
又，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
由可得，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故D错误.
故选：AC
10. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）

A. 椭圆的离心率是
B. 的周长存在最大值
C. 线段AB长度的取值范围是
D. 面积的最大值是
【答案】ACD
【解析】由题意知，半圆的方程为，
设椭圆方程为，则，
所以，故椭圆方程为，
A选项，椭圆离心率，故A正确；
C选项，当时，，
当时，，此时重合，不合要求，
又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B
所以线段长度的取值范围是，C正确；
D选项，由题意得的面积，设，则，
所以，
设，则，所以，
故，，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确，
B选项，的周长等于，
则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误.
故选：ACD
11. 为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125
C. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119
D. 四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为
【答案】ACD
【解析】，可得，故A正确；
根据频率分布直方图可得其平均数为
，所以B错误；
由频率分布直方图可知，，而，
所以中位数落在区间内，设中位数为，则，可得，所以C正确；
由图可知，超过125次以上的频率为，所以优秀率为，即D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，当时，，则_____．
【答案】
【解析】函数是在上的奇函数，当x>0时，周期为，，
又当时，，
则，故.
故答案为：.
13. 若函数存在两个极值点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意知：的定义域为，，
有两个极值点，为的两根，
，又，解得：；，，
；
令，则，
当时，恒成立，在上单调递减，
，则的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知数列中，中，（n∈N*）中，则________， ________.
【答案】①. 7 ②.
【解析】依题意，，，，而，
则，
而满足上式，所以，.
故答案为：7；
四、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 智慧幼儿园系统平台是“智慧幼儿园”建设的主体,它基于移动互联网、物联网和互联网技术，以幼儿园园长、老师、家长为服务对象，对幼儿园管理、教育教学、卫生保健、生活服务等所有信息进行全面记录管理，进而推动幼儿园实现管理智能化、教育信息化决策科学化、资源共享化、服务系统化某园为研究智慧幼儿园家长的使用情况与年龄的相关程度，随机调查了100位家长作为样本，统计数据如下：
（1）从独立性检验角度分析，能否有95%以上的把握认为该园家长的使用情况与年龄有关?
（2）现从样本中采用分层抽样的方法在不使用智慧系统的家长中抽取4人，并在这4人中选2人进行深入调查不使用的原因，求这2人年龄都大于45岁的概率.
，其中.
解：（1），
所以有95%以上的把握认为该园家长的使用情况与年龄有关.
（2）在不使用智慧系统的家长中，年龄大于45岁的家长应抽取人，
记为，；不大于45岁的家长应抽取人，记为，.
选取两人进行深入调查，形成的基本事件为
、、、、、共6个，
其中两人年龄都大于45岁的事件为共1个，
故所求概率为.
16. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1.
（1）求a的值；
（2）设函数，求的最小值.
解：（1）由题意得的定义域为，，
因为，所以，解得．
（2）因为，的定义域为，
，
令，得，
与在区间上情况如下：
所以在的单调递减区间为，单调递增区间为；
所以.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M，N分别为线段，上的点（不在端点）.
（1）当M为中点时，，求证：面；
（2）当M为中点且N为中点时，求证：平面平面；
（3）当N为中点时，是否存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.
（1）证明：取中点E，连结，，
∵在四棱锥中，平面，，
，，M为中点，，
∴，，
∵，，∴平面平面，
∵平面，∴面.
（2）证明：以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
∵，∴平面平面.
（3）解：假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，.
则，解得，，，∴，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
∵直线与平面所成角的正弦值为，
∴，
整理，得，解得（舍）或，
∴存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时
18. 已知抛物线C的顶点为，焦点为
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值.
解：（1）根据题意可设C的方程为，
那么，所以，
所以C：；
（2）如图，

设，，根据题意可设直线AB的方程为，
联立直线AB方程和方程C可得，化简得，
根据韦达定理可得，，
因此有
，所以AO的方程：，
根据，
可得，
同理，AO的方程：，
联立AO方程和直线，，可得，
因此
，
设，，所以，
因此
，
当时，，，
当时，，则，当取等号．
而，所以当，即时，的最小值是
x
0
0
2
0
0
不大于45岁
大于45岁
合计
使用
50
20
70
不使用
15
15
30
合计
65
35
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
0
0
递减
极小
递增