广东省清远八校联盟2024-2025学年高一下学期教学质量监测（一）（A卷）数学试卷（解析版）

这是一份广东省清远八校联盟2024-2025学年高一下学期教学质量监测（一）（A卷）数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D. ±
【答案】A
【解析】．
故选：A．
3. 下列结论中正确的为（ ）
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量 D. 零向量没有方向
【答案】B
【解析】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
所以，
所以，
，
所以.
故选：D.
5. 如图，已知，，，用、表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，则，
，
则.
故选：D.
6. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以...①，...②，
由①+②得：，即.
故选：B.
7. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设为向量，的夹角，因为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
8. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图知，当时，，
又，所以
由，得，
由，得，所以
当时，，则，
解得，所以，所以
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
【答案】ABC
【解析】因为，两边平方整理可得，
且，则.
对于选项A：若，则，所以，故A正确；
对于选项B：若，则，，
可知为方程的根，
又因为的根为，所以，故B正确；
对于选项C：若，则，
可得，
且，，可知，所以，故C正确；
对于选项D：例如，则，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为πB. 的最大值为2
C. 的值域为D. 的图象关于对称
【答案】ACD
【解析】∵，，
又因为，所以，
∴的值域为，
由，则的最小正周期为，
令，解得，
即的图象关于对称，综上可得选项A，C，D正确，选项B错误.
故选：ACD.
11. 已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，则，故C正确：
对于D：，即，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4，则此扇形的面积是______.
【答案】16
【解析】扇形的面积.
13. 已知函数的最小周期为T，若，为的零点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，则，
又，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，∴时，取得最小值．
14. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.
【答案】
【解析】解法1：因，所以，
又，所以，
因为点三点共线，所以，解得：.
解法2：因为，设，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，
又，所以，解得：，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角的终边过点.
（1）求的值；
（2）若角的终边按逆时针方向旋转得到角，求.
解：（1）由角的终边过点，得，
所以.
（2）由角的终边过点，得，
所以.
16. 已知向量与夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
解：（1）由已知，得，
.
（2）设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为.
17. 设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
解：（1）由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，
结合可取，相应的值为.
（2）由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
18. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
解：（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
19. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在上有两个零点，求m的取值范围.
解：（1）因为，
所以的最小正周期为.
令，，得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，
所以由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减.
要使得在上有两个零点，
根据零点存在定理，得，即，解得.
所以.