浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.）
1. 已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设.
故选：A.
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.为零向量，不能作为基底，A错误.
B.由得，，故，不能作一组基底，B错误.
C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确.
D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误.
故选：C.
3. 已知正三角形的边长为1，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】由题设
.
故选：C.
4. 在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，且为三角形的最大角，
所以，则的面积为.
故选：D
5. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
6. 已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设，
∴，
∵，∴，即，
∴.
∵，，当且仅当时取等号，
∴的最大值为.
故选：B.
7. 是斜边上一点，若，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，令，由，则，
，，
在中，，由正弦定理，，
即，整理得，
即，因，则有，即的值是.
故选：D.
8. 在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，∴.
∵，∴.
∵依次是边的四等分点（靠近点），
∴，
，
，
∴
，
，
，
∴.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）
9. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（ ）
A. 的虚部为
B.
C. 是纯虚数
D. 若是方程的一个根，则
【答案】BC
【解析】由题设，令且，
所以，即，
所以，则，可得，
所以，，则，A错，B对；
，C对；
若是方程的一个根，
则，，故，D错.
故选：BC.
10. 已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知，则线段的长度为1
C. 已知，则
D. 已知，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】A：由题设，
所以，对；
B：由题设，
则，对；
C：由题设，错；
D：由题设，即，
由，且时取等号，
则，故，即时的最大值为，对.
故选：ABD.
11. 已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则的取值范围
D. 若，则的取值范围
【答案】BCD
【解析】由，则，所以，必要性成立，
由，又为锐角三角形，必有，充分性成立，
所以“”是“”的充要条件，A错；
由，又，
故，则，
又，则或，得或（舍），
所以为等腰三角形，B对；
由，又，则，
所以，则，故，
所以，即，
结合三角形为锐角三角形，可得，故，
由，故，C对；
，
又，显然在上单调递减，
所以，D对.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量，若，则__________.
【答案】
【解析】由题设，且，
所以，则.
13. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为__________.
【答案】2
【解析】由题设，
当，即时，的最大值为2.
14. 已知为单位向量，设向量，向量夹角为，若，求的取值范围__________.
【答案】
【解析】由，
所以，故，
又，
，
所以
，而，所以.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足.
（1）求的值；
（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
解：（1）令且，则，
所以，则，可得，
所以，则.
（2）由，
故对应点在第三象限，则，
所以，即.
16. 已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求四边形面积的最大值.
解：（1）由题设，即，
所以，而，故，
又，则，故.
（2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系，
则，，，故，
所以
，当时取最大值为.
17. 在中，为线段上的点，分别为的中点.
（1）若，求的值；
（2）若，求的长度；
（3）若，求的值.
解：（1）令，则，
而，即.
（2）由题意，在、中为斜边上的中点，
所以，，故，，
所以，
由，
所以，
故.
（3）由（2）易知，则，
所以，
同理，
所以，即，
显然，则.
18. 杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）
（1）请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；
（2）为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）
解：（1）由题设，
所以米.
（2）设米，则，，
由，则
，
当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
19. 如图，已知是边长为1的等边三角形，点是内一点.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，且.
（1）若，求的面积；
（2）求的最小值；
（3）若，设的周长为.
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域.
解：（1）连接AG并延长，交BC于点F，设，则，
由B，F，C三点共线，得，解得，
因此，即，则，
由是边长为1的等边三角形，得的面积，
由，得，由，得，
则，所以的面积.
（2）取的中点，连接，则，，
，
当且仅当点是的中点时取等号，
所以的最小值为.
（3）（i）由，得为的重心，
连接AG并延长交BC于点，则为BC中点，，
因此，
由D，G，E三点共线，得，所以.
（ii）由正△ABC的边长为1，得，，，
在△ADE中，，
则，
由，得，即，
因此，
又，则，
由，，得，，又，则有，
而，于是，
由，得，则的最小值为，最大值为，
即，在上单调递增，则，
所以的值域为.