浙江省精诚联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省精诚联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，6B， 已知正方体，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 已知是等比数列，，，则公比等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】根据题意，，
所以.
故选：D
2. 下列说法中，与“直线平面”等价的是（ ）
A. 直线与平面内的任意一条直线都不相交
B. 直线与平面内的两条直线平行
C. 直线与平面内无数条直线不相交
D. 直线上有两个点不在平面内
【答案】A
【解析】平面直线与平面无交点和平面内的任意一条直线都不相交，A正确；
若直线与平面 内的两条直线平行，则直线可能在平面内或与平面平行，B错误；
若直线与平面内无数条直线不相交，则直线可能在平面内或与平面平行或与平面相交，C错误；
若直线上有两个点不在平面内，则直线可能与平面平行或与平面相交，D错误；
故选：A.
3. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
由点斜式可得，化简可得.
即曲线在处的切线方程为.
故选：D.
4. 设是双曲线上一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则等于（ ）
A. 2B. 18
C. 2或18D. 以上均不对
【答案】B
【解析】由，得，
根据双曲线的定义得，则或18，
又，故.
故选：B.
5. 有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有（ ）
A. 72种B. 144种C. 108种D. 288种
【答案】B
【解析】先排男生共有种方法，再排女生共有种方法，
由分步乘法计数原理可得满足条件的排法数为，
故选：B.
6. 在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（ ）
A 21B. 22C. 23D. 24
【答案】C
【解析】由题意易得，
两式相加得，即，
所以，所以，
故选：C.
7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
8. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，其中是桁，是脊，是相等的步，相邻桁的脊步之比分别为，已知成公差为0.2的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A. 0.6B. 0.8C. 1D. 1.2
【答案】C
【解析】设，则，
由题意得，，
解得，
故选：C.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 已知正方体，则（ ）
A. 直线与面平行
B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为
D. 直线与平面垂直
【答案】AD
【解析】A：正方体中，易知，在平面内，面，所以A正确；
B：为正三角形，又易知与所成的角为，所以B错误；
C：连接交于点，则.
正方体中易知：平面平面，且相交于点，
平面即为直线与平面所成角的平面角，
设正方体棱长为2，则.
，所以C错误；
D：且，都在平面面内，
面，所以D对.
故选：AD
10. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中,,动点满足,其轨迹为一条连续的封闭曲线.则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线与轴的交点为
B. 曲线关于轴对称
C 直线与曲线有两个公共点
D 直线与曲线有三个公共点
【答案】ABD
【解析】设动点，
∵，
∴，
对于A：令，则，或，所以交点为；所以A正确；
对于B：点关于x轴对称的点，把代入曲线得，所以B正确；
对于CD：令
得，
故，
所以
，所以，
所以直线与曲线有三个公共点，C错误，D正确.
故选：ABD.
11. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】对于A：因为函数的定义域为，而
，
令可得，或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故是函数的极小值点，所以A正确；
对于B，当，，
因为函数在上单调递增，所以，
故命题当时，错误；B错误；
对C，当时，，
因为函数在上单调递减，上单调递增，
所以，又，，
所以，C正确；
对D，当时，，所以，
所以D正确；
故选：ACD.
非选择题部分
三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 的二项展开式中的系数为__________.
【答案】24
【解析】由题意知的展开式的通项为
，
令，
所以，故的系数为24，
故答案为：24
13. 已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以和夹角的余弦值为.
故答案为：.
14. 已知正项数列中，前项和为，且，则数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】由已知且为正项数列得：当时，得，
当时，，
化简得，
所以，，，，
累加得，当时，也适合，
又，
则.
故答案为：.
四､解答题：（本大题共5小题，共13+15+15+17+17=77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知圆，直线：.
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程.
解：（1）根据题意，圆，
则圆的标准方程为，
其圆心为，半径，
若直线与圆相切，则有
解得.
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
即，解得
则有，解得或，
则直线的方程为或.
16. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.

（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值.
解：（1）由已知，，又，
所以，又为棱的中点，
所以，
因为平面，，平面平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，
（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
因为，，故，
又，
则，，，，，
所以，，，
依题意，是平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量，
则，即，
不妨设，可得，，
所以为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，又，
所以，
所以，二面角的正弦值为.
17. 已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：（1），
∴，
由，得,
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
的极大值为，也即的最大值为.
（2），
①当时，在上单调递增，
的最大值是，
解得，舍去；
②当时，由，得，
当，即时，
时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又在上的最大值为，
∴，
∴，
当，即时，在上单调递增，
，
解得，舍去.
综上，存在符合题意，此时.
18. 已知数列是等差数列，公差，且成等比数列；数列为等比数列，对于任意.
（1）求的通项公式，猜想数列的通项公式并证明；
（2）求数列前项和；
（3）若，数列前项和为，求证：.
解：（1）由成等比数列，则，
由题意，可得，解得，
所以.
由，
可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，
即不恒成立，此时无法保证，
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，
即不恒成立，此时无法保证，
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为.
（2）由（1），，
则，①
，②
由①②得，，
即；
（3），
则，
所以，得证.
19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆与椭圆的相似比为，当时，求椭圆的方程；
（3）当时，设椭圆左顶点为，右顶点为，且椭圆过点作两条斜率为的直线分别交椭圆于（异于）两点，设在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值.
解：（1）对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
（2）因为，
由（1），可得，
解得，
所以为；
（3）设，由对称性可得，
设，则
由消得，，
方程的判别式，
由已知为方程的根，
所以，
所以，
，，
.