人教A版 (2019)必修 第二册用样本估计总体教学ppt课件

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册用样本估计总体教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了分层随机抽样的方差，感悟提升，估计样本的众数，题型强化训练，小结及随堂练习等内容，欢迎下载使用。
1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法．3.理解样本数据方差、标准差的意义和作用并会计算方差、标准差．4.从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释，能估计总体的离散程度．
方差、极差的计算与应用
9.2.4 总体离散程度的估计
复习旧知——总体百分位数的估计
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
直观来说，一组数的第p位百分位数指的是讲这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p％位置的数．
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第一步:按从小到大排列原始数据；
第二步:计算i=n×p%；
第三步:若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
复习旧知——总体集中趋势的估计
众数、中位数、平均数的概念及计算
众数:在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
平均数:反映所有数据的平均水平
通过频率分布直方图估计平均数、中位数、众数：
样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
样本中位数：把每个矩形的面积从左加起，加到接近0.5时（没超过）用0.5减去之前加得的面积，再用减得的数值除以下一组的面积，再乘以组距，再加上在与上一组之间的数就得到了中位数.
样本众数：频率分布直方图的众数估计值为最高矩形底边的中点．
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法．但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子．
问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的 环数如下：
如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7．从这个角度看，两名运动员之间没有差别．但从图9.2-13中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定．可见，他们的射击成绩是存在差异的．那么，如何度量成绩的这种差异呢？
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大．极差在一定程度上刻画了数据的离散程度．但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少．我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远．因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度．
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远．因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度．
你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为"距离"，即
如何定义“平均距离”？
我们称（1）式为这组数据的方差．
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数，这组数据的方差为
由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致．为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即
我们称（2）式为这组数据的标准差．
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，则称
为总体方差， 为总体标注差 ．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…， k），则总体方差为
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 ，则称
为样本方差， 为样本标注差 ．
标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度．标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定．
标准差s≥0；s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的．在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的．就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准．在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性．
标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？
我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数都是7，计算可得s甲=2，s乙≈1.095，即s甲>s乙．由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的成绩稳定．因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置．如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲．
问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4； 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？
在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62．你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作岀估计吗？
我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862．
2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会顺利召开，全民关注冬奥赛事.为了更好的普及冬奥知识，某中学举办了冬奥知识竞赛，并随机抽取了100名学生的成绩，且这100名学生的成绩（单位：分）都在[50，100]，其频数分布表如下图所示.
由分布表得知该中学冬奥知识竞赛成绩的中位数的估计值为82分.
1.在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．2.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差，方差越小，离散程度越小，数据越集中，越稳定．
分层抽样总样本方差的计算
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息．例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用 水量数据，可以计算出样本平均数和样本标准差分别为
题型一　样本的标准差与方差的求法
题型二 方差、标准差与统计图表的综合应用
【练习2】甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均 成绩和方差如表所示:
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【详解】∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲， 乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定， ∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定， ∴丙是最佳人选， 故选：C．
研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准，若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．
题型三　由统计图求标准差、方差
【反思感悟】利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去．
【点睛】本题主要考查由折线图计算众数、中位数、平均数、方差等， 属于基础题型.
折线统计图中数字特征的求解技巧根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小．
题型四　分层随机抽样的方差
【练习4】某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生50名和女生30名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
1．知识清单：(1)方差、极差的计算与应用．(2)分层随机抽样的方差．
2．方法归纳：数据统计、数据分析．
3．常见误区：方差、标准差易混淆．
习题9. 2（第214页）第1， 2,3题
1．不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗?
3．农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产 量如下：
哪种水稻的产量比较稳定？
甲、乙两种水稻 6 年产量的平均数都是900，但甲种水稻产量的标准差约等于23.8，乙种水稻产量的标准差约等于41. 6，所以甲种水稻的产量比较稳定．
4．一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500 g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：
（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？
5．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173．5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03．（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方 差各为多少吗？
(1) 不能．因为男生和女生的样本量未知．
（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
用它们分别作为总体均值和方差的估计不合适，因为男生和女生身高的差异比较大，这个样本的分布与总体的分布相差可能比较大，所以总样本均值和总样本方差作为总体均值和总体方差的估计有偏差．
习题9. 2（第214页）
1．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了 60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
（1）请你选择合适的组距，作出这个样本的频率分布直方图，分析这批 棉花纤维长度分布的特征；（2）请你估计这批棉花的第5，95百分位数．
观察直方图，可以看到这批棉花的纤维长度不是特别均匀，小矩形中间低两端高，即有一部分棉花的纤维长度比较短，在85mm以下的接近20%，也有一部分棉花的纤维长度比较长，在325 mm以上的占接近30%．这批棉花很可能来自两个不同的产地或品种．
（2）请你估计这批棉花的第5，95百分位数．
2．甲乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好?
甲机床每天生产次品数的平均数为1.5，标准差为1.284 5；乙机床每天生产次品数的平均数为1.2，标准差为0.8718．从计算结果看，乙机床每天生产次品数的平均数和标准差都比甲机床小，说明乙机床生产出的次品比甲机床少，而且更为稳定，说明乙机床的性能更好．
3．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.43．你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？（1）平均说来一队比二队防守技术好；（2）二队比一队技术水平更稳定；（3）一队有时表现很差，有时表现又非常好；（4）二队很少不失球．
（1）正确．从平均失球数的角度，一队的平均失球数1.5小于二队的平均失球数2.1．
（2）正确．标准差越小，发挥越稳定，二队失球数的标准差0.4小于一队失球数的标准差 1.1，所以说二队的技术水平更稳定．
（3）正确．从标准差的角度考虑，一队失球数的标准差为1.1，均值为1.5，说明一队在防守中表现好时失球很少，表现差时失球较多．
（4）正确．综合平均数和标准差两个指标考虑，平均数大且标准差小，说明失球数多为1，2，3．
6．以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分．你的一位高中校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先进一步查阅一下这所大学以往招生的其他统计信息？解释一下你的选择．
该高中校友最关心的是自己能否被录取，即他的分数是否在当年录取的最低录取分数之上．根据已有信息，只知道他的分数位于以往分数的中位数之下，这不能判断他被录取的可能性大小．应该进一步查阅这所大学以往招生的其他统计信息，例如以往录取分数的分布情况、平均分数、最低分数等信息．如果知道该校以往录取的平均分数和标准差，且他的分数大于平均分减去标准差的值，那么他被录取的可能性就比较大，可以建议他报考该校；如果知道以往录取分数的分布情况，且他的分数大于第20百分位数，他被录取的可能性也比较大，可以建议他报考该校；如果知道以往录取的最低分数线，且他的分数低于以往最低录取分数线，那么不建议他报考该校；等等．
7．甲、乙两个班级，一次数学考试的分数排序如下：
请你就这次考试成绩，对两个班级的数学学习情况进行评价．
甲班的平均分为80.5，标准差为12.72，最低分为51，最高分为100，极差为49；乙班的平均分为80.5，标准差为8.18，最低分为61，最高分为98，极差为37．可以发现，甲班和乙班学生的平均分相同，甲班的标准差、极差比乙班的大．这说明甲班学生的成绩比较分散，相互差别较大，数据上看既有成绩不及格的，也有成绩为满分的，相对而言乙班的成绩较为集中，相互差别较小．
8．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00ppm(百万分之一)的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在30条鱼的样本中发现的汞含量（单位：ppm）如下：0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31(1)请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；(2)求出上述样本数据的平均数和标准差；(3)从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1. 00 ppm大吗？(4)在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？
（4）有 28 条鱼的汞含量在以平均数为中心、2 倍标准差的范围内， 占总样本量的 93. 33%．
9．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在 50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万”，而你的预期是获得9万元年薪．（1）你是否能够判断年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者？
9．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在 50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万”，而你的预期是获得9万元年薪．（2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？
（2）不能. 因为已知有一个极端值，其对均值的影响很大，中位数不受极端值的影响，判断是否受聘还要看中位数的大小，但由“员工年收人的变化范围是从3万到 200万”不能估计中位数的大小．
（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？（4）根据（3）中招聘员提供的信息，你能估计出这家公司员工收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？
（3）能．由第一和第三四分位数知，有75%的员工工资在9.5万元以下，其中25%的员工工资在4.5万元以下，所以在该公司获得 9 万元的年薪是有难度的．
（4）由第一和第三四分位数，可以估计中位数在7万元左右．因为有年收入200万这个极端值的影响，得年平均收入比中位数高许多．
10．有20种不同的零食，每100 g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140（1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差．（2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，求样本的平均数与标准差．
（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26．
（2）计算过程略．可以使用抽签法进行抽样。样本平均数和标准差的 计算结果和抽取到的样本有关．
10．有20种不同的零食，每100 g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差.这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10, 13, 16, 19的样本，求样本的平均数与标准差．分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系．
（3）计算过程略．不一定一样．因为随机性，每一次所抽取的样本可能不同，所以平均数和标准差可能不同．
（4）计算过程略．一般地，样本量越大对总体的估计越接近，但是由于样本的随机性，也有例外情况．
12．调查本班每名同学的家庭在同一周的用电量，从中你能发现什么信息？写一份简短的统计报告，说明你发现的信息．