北京市东城区2024届高三下学期4月一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市东城区2024届高三下学期4月一模数学试卷（Word版附解析），文件包含北京市东城区2023-2024学年高三下学期综合练习一一模数学试题Word版含解析docx、北京市东城区2023-2024学年高三下学期综合练习一一模数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
2024.4
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A. B. C. D.
2. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A. 3B. C. D.
4. 设函数，则（ ）
A B.
C. D.
5. 已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（ ）
A. 关于直线对称
B. 关于点对称
C. 关于直线对称
D. 关于点对称
6. 已知，若，则的取值可以为（ ）
A. 2B. 1C. D.
7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
8. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是弧的中点，为的中心.现将沿翻折为，记的中心为，如图2.设直线与平面所成的角为，则的最大值为（ ）

A. B. C. D.
10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增
C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数，则_________.
12. 设向量，且，则______.
13. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______.
14. 已知抛物线的焦点为，则的坐标为______；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则______.
15. 已知数列的各项均为正数，满足，其中常数.给出下列四个判断：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④，存在实数，使得.
其中所有正确判断的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求；
（2）若为边的中点，且，求的值.
17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.
18. 如图，在五面体中，底面为正方形，.

（1）求证：；
（2）若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
19 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设，求函数的最小值；
（3）若，求实数的值.
20. 已知椭圆的短轴长为，离心率.
（1）求椭圆方程；
（2）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
21. 有穷数列中，令，当p=q时，规定.
（1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；
（2）已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；