四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试卷（含答案）

这是一份四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(1+i)z=1−i，则z的共轭复数为( )
A. −iB. iC. 2−iD. 2+i
2.已知平面向量a=(−1,1)，b=(1,m)，若a/​/b，则a⋅b=( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
3.设a，b∈R，则“ab0)的左右顶点为A，B，且|AB|=2，双曲线C的一条渐进线的斜率为 2，过点R(2,0)的直线l1交双曲线C于M，N两点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C上存在点T，且OT= 28(OM+ON)，求此时直线l1的方程．
(3)过点R(2,0)的直线l2双曲线C于P，Q两点，直线l1的斜率为k1122ln2−132,
∴当m=2ln2−132，T(m)min=32−2ln2.
17.解：(1)梯形ABCD中DA，CB，EF不平行，延长D1A1，CB，EF，
记D1A1∩FE=M，CB∩FE=N，
∵∠A1D1F=∠BCF，D1F=CF，∠D1FM=∠CFN，
∴△MFD1≌△NFC，则FM=FN，即M，N重合，
∴D1A1∩CB=M，
所以A1，B，D1，C四点共面;
(2)∵平面A1EFD⊥平面BEFC，面A1EFD1∩面BEFC=EF，D1F⊥EF，D1F⊂面A1EFD1，
∴D1F⊥面BEFC，又CF⊂面BEFC，则D1F⊥CF，
易知FE，FC，FD1两两垂直，不妨以F为坐标原点，
以FE，FC，FD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．
不妨设A1E=BE=a，则E( 6,0,0)，A1( 6,0,a)，B( 6,a,0)，C(0,a+1,0)，D1(0,0,a+1)，
则FB=( 6,a,0)，A1C=(− 6,a+1,−a)，
由BF⊥A1C可知，FB⋅A1C=−6+a(a+1)=0，可解a=2，
∴A1E=BE=2;
(3)∵平面EFP⊥面A1BCD1，记面EFP∩面A1BCD1=l，
在平面EFP内过点E作直线m⊥l，∴D1C⊥m，
又∵EF⊥面D1FC，D1C⊂面D1FC，∴D1C⊥EF，
又EF⊂面EFP，m⊂面EFP，EF与m相交，∴D1C⊥面EFP，
又FP⊂面EFP，∴D1C⊥FP，
在等腰直角三角形△D1FC中FP为中线，即点P为CD1的中点;
由第(2)问可知B( 6,2,0)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，P(0,32,32)
则FB=( 6,2,0)FP=(0,32,32)，
设平面BFP的法向量为n=(x,y,z)，取平面BEFC的法向量为m=(0,0,1)，
设平面BFP与平面BEFC所成角为θ，
FB⋅n=0FP⋅n=0，即 6x+2y=0y+z=0，不妨取n=( 2,− 3, 3)，
则csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|= 64，
∴平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值为 64．
18.解：(1)|AB|=2，则2a=2即a=1，
又ba= 2，解得b= 2，
∴双曲线C的方程为x2−y22=1．
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则由OT= 28(OM+ON)，
可得：T( 2(x1+x2)8, 2(y1+y2)8)，
又点T在双曲线C上，则2( 2(x1+x2)8)2−( 2(y1+y2)8)2=2，
化简整理得：2x12+4x1x2+2x22−y12−y22−2y1y2=64，
又M(x1,y1)，N(x2,y2)均在双曲线C上，则2x12−y12=2，2x22−y22=2，
代入上式整理得：2x1x2−y1y2=30⋯⋯ ①，
易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，
设直线l1方程为x=ty+2，则x1=ty1+2，x2=ty2+2，
代入 ①得：(2t2−1)y1y2+4t(y1+y2)−22=0⋯⋯ ②，
联立x=ty+22x2−y2=2，得：(2t2−1)y2+8ty+6=0，
由韦达定理可得：y1+y2=−8t2t2−1y1⋅y2=62t2−1，
代入 ②式得：(2t2−1)62t2−1+4t−8t2t2−1−22=0，
解得：t2=14，即t=±12，此时y1y2195，故195