江西省萍乡市2025届高三下学期二模考试数学试卷（含答案）

这是一份江西省萍乡市2025届高三下学期二模考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的75%分位数是( )
A. 114B. 115C. 120.5D. 121
2.过点P(3,1)作圆C:x2+y2+2x+4y−4=0的切线，记其中一个切点为A，则|PA|=( )
A. 16B. 4C. 21D. 21
3.已知等差数列{an}满足：a3+a6+a9+⋯+a3n=34n(n+1)(n∈N+)，则{an}的公差为( )
A. 1B. 2C. 13D. 12
4.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=π2，AA1=AB=BC，则直线A1C与AB1所成角的大小为( )
A. π4B. π3C. π2D. 2π3
5.已知点P(−4,0)及抛物线C:y2=4x上一点Q，若线段PQ的垂直平分线经过C的焦点，则Q的横坐标为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有( )
A. 720种B. 120种C. 32种D. 30种
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，5sinA1+csA+csAsinA=3，则△ABC面积的最大值为( )
A. 3B. 32C. 3D. 2 3
8.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(π2)=12e，且∀x，y∈R，都有esinx⋅f(y)−esin y⋅f(x)≥(e2sinx−e2siny)⋅f(x)⋅f(y)恒成立，则f(x)的最大值为( )
A. 12eB. 1eC. eD. 2e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足：A∩B={3,5}，(∁UA)∩(∁UB)={2,4}，则下列说法正确的为( )
A. 4∈AB. 6∈A∪B
C. 集合A可能是{1,3,5,6}D. (∁UA)∪(∁UB)={1,2,4,6}
10.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f(x+1)=1，且当x∈[0,1)时，f(x)=2x−32x，则下列说法正确的为( )
A. f(x)的最小正周期为2
B. f(x)在(2024,2025)上单调递增
C. f(x)在(2025,2026)上单调递增
D. 对∀n∈Z，都有f(4n)=f(4n−3)+1
11.若数列{an}的前n项中，最大项为An，最小项为Bn，则称数列{An−Bn}为{an}的“极差数列”.下列关于极差数列的说法正确的为( )
A. 若数列{an}是等差数列，则它的极差数列{An−Bn}也是等差数列
B. 若数列{an}的极差数列{An−Bn}是等差数列，则{an}也是等差数列
C. 数列{an}的极差数列{An−Bn}可能为等比数列
D. 数列{an}的极差数列{An−Bn}的极差数列仍是{An−Bn}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足：(z+2i)(2+i)=3−i，其中i为虚数单位，则|z|= ．
13.若随机事件A，B满足：P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(B|A)=0.5，则P(B|A)= ．
14.已知三棱锥A−BCD外接球的球心O为棱AB的中点，若AB=4，CD=3，则该三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
DeepSeekApp于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应.DeepSeek公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示(单位：人)．
(1)求出x，y的值，并在显著性水平为0.005的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关;
(2)以频率估计概率，在所有效果为有效的人群中抽取3人，求恰有2人为31−50岁用户年龄段的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60∘．
(1)求证：平面ABCD⊥平面BDEF;
(2)设点P满足BP=λBF(λ>0)，直线AE与平面APC所成角的正弦值为 3010，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx.
(1)证明：函数g(x)=(x−1)[f(x)−1]有且只有一个极值点;
(2)若关于x的方程f(x)=bx2−bx在区间[1,2]上恰有两个实数根，求实数b的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，离心率为 74，点P(c,94)在Γ上.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)若点G在椭圆Γ上，点H在圆C:x2+y2=12上，直线GH为Γ和C的公切线，求线段GH的长度;
(3)直线l:y=k(x−3)交椭圆Γ于M，N两点，交y轴于点D.T为直线l上一点，满足2OT=OM+ON，其中O为坐标原点，过点D作直线OT的垂线交OT于点Q，问是否存在一点R，使得QR的长度为定值?若存在，求出点R的坐标和该定值;若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知x∈R，n为正整数，对于函数fn(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0，若对任意的θ，都有fn(csθ)=csnθ，则称fn(x)为n次切比雪夫函数.例如：因为cs(2x)=2cs2x−1，所以f2(x)=2x2−1为二次切比雪夫函数．
(1)求f3(x);
(2)证明：对任意正整数n，都有fn+2(x)=2xfn+1(x)−fn(x);
(3)若函数g(x)=12[f6(x)+1]+k有一个绝对值不大于1的零点，证明：g(x)所有零点的绝对值都不大于1．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.B
6.D
7.A
8.A
9.BCD
10.ACD
11.AD
12. 10
14. 7
15.(1)由题意得：x=80，y=30;
计算χ2=300×(120×70−30×80)2200×100×150×150=24>7.879，
所以在显著性水平为0.005的情况下，认为推荐算法的效果与用户年龄段有关;
(2)样本的推荐算法有效的群体中抽到为31−50岁用户年龄段的频率为80200=25，
以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为31−50岁用户年龄段的概率为25，
则3人中恰有2人为31−50岁用户年龄段的概率为：C32⋅(25)2⋅35=36125．
16.解：(1)证明：连接AC交BD于点O，因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD ①，
且AO=OC，又FA=FC，则AC⊥FO ②，且BD∩FO=O ③，
由 ① ② ③可知，AC⊥面BDEF，又AC⊆面ABCD，故平面ABCD⊥平面BDEF;
(2)以O为原点，OA，OB，OF方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz，
设AB=2，则A( 3,0,0)，E(0,−2, 3)，B(0,1,0)，F(0,0, 3)，P(0,1−λ, 3λ)，
AE=(− 3,−2, 3)，OA=( 3,0,0)，AP=(− 3,1−λ, 3λ)，
设平面APC的法向量为n=(x,y,z)，
则 3x=0− 3x+(1−λ)y+ 3λz=0，取y= 3λ，得n=(0, 3λ,λ−1)，
设直线AE与平面APC所成角为θ，则sinθ=|− 3λ− 3| 10⋅ 4λ2−2λ+1= 3010，
解得：λ=0或λ=43，又λ>0，故λ=43．

17.(1)证明：由题意知，g(x)=(x−1)(lnx−1)，所以g′(x)=lnx−1x，
显然g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
且g′(1)=−10，
故g′(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x0，
且g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
即g(x)在(0,+∞)上有且只有一个极值点;
(2)解：因为x∈[1,2]，当x=1时，方程lnx=bx2−bx成立，
故只需方程lnx=bx2−bx在x∈(1,2]上有且只有一个实数根，
而当x∈(1,2]时，x2−x>0，所以只需方程b=lnxx2−x在x∈(1,2]上有且只有一个实数根，
令φ(x)=lnxx2−x(x∈(1,2])，
则φ′(x)=(x−1)−(2x−1)lnx(x2−x)2(x∈(1,2])，
再令m(x)=(x−1)−(2x−1)lnx(x∈(1,2])，
得m′(x)=1x−1−2lnx，
显然m′(x)在x∈(1,2]上单调递减，
所以m′(x)1，ℎ′(t)>0，ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增，g(x)在(1,+∞)上单调递增，
即x>1时，g(x)>g(1)=1+k≥0，即g(x)>0恒成立，即g(x)在(1,+∞)上无零点;
②当x1，ℎ′(t)>0，ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增，g(x)在(−∞,−1)上单调递减，
即xg(−1)=1+k≥0，即g(x)>0恒成立，即g(x)在(−∞,−1)上无零点;
综合 ① ②可知，g(x)所有零点的绝对值都不大于1． 效果
18−30岁用户人数
31−50岁用户人数
有效
120
x
无效
y
70
总计
150
150
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828