2024-2025学年河北省衡水市第二中学高一下学期第二次调研考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省衡水市第二中学高一下学期第二次调研考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是奇函数且周期为π的是( )
A. y=cs3π2−2xB. y=sinx
C. y=sin2x+π3D. y=1−2sin2x
2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线y=−x对称．若sinα=35，则csβ=( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
3.已知向量a=(2,0)，b=sinα, 32，若向量b在向量a上的投影向量c=12,0，则a+b=( )
A. 7B. 3C. 2 3D. 7
4.已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AM=mAB，AN=nAD(m⋅n≠0)，若MN//BE，则nm=( )
A. 1B. 2C. 12D. −2
5.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和π相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则π 16−π2cs43.5°+sin43.5°−34的值约为( )
A. −32B. −132C. 32D. 132
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|0,|φ| 0)在[0,1]上恰有2024个零点，求ω的值．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.C
8.C
9.BC
10.BC
11.ABD
12. 5,3
13.2
14.80
15.(1)∵A=π4，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsπ4，
∴b2−a2= 2bc−c2，
又b2−a2=12c2，
∴ 2bc−c2=12c2，即 2bc=32c2，
又c>0，∴ 2b=32c，可得b=3 2c4，
∴a2=b2−12c2=58c2，即a= 104c，
∴csC=a2+b2−c22ab=58c2+98c2−c22× 104c×3 24c= 55．
(2)由(1)知，csC= 55，
又C∈0,π，故sinC>0，sinC= 1−cs2C=2 55，
∵S▵ABC=12absinC=12× 104c×3 24c×2 55=3，
解得c=2 2．
∴b=3 2c4=3．
16.(1)以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0),B(0,2),C(3,0)．
由AE=2EC，得E(2,0)，所以BE=(2,−2)．
由D是BC的中点，得D32,1，所以AD=32,1．
设G(x,y)，则AG=(x,y),BG=(x,y−2)．
因为A,G,D三点共线，
所以AG//AD，即x=32y①，
因为B,G,E三点共线，
所以BG//BE，即2(y−2)=−2x②，
联立①②解得点G的坐标为65,45，
所以AG=65,45．
所以AG=45AD，所以实数λ的值为45．
(2)因为BE上的点满足x+y=2，
设H(t,−t+2)，
则HA=(−t,−2+t),BC=(3,−2)．
因为HA⊥BC，所以−3t+(−2)(−2+t)=0，解得t=45，所以点H的坐标为45,65，
所以GH=−25,25．
又BC=(3,−2)，所以GH⋅BC=−25×3+25×(−2)=−2．
17.(1)由tanB+tanC= 3accsB可得sinBcsB+sinCcsC= 3sinAsinCcsB⇒sinBcsC+csBsinCcsBcsC= 3sinAsinCcsB⇒sin(B+C)csBcsC= 3sinAsinCcsB
⇒sinAcsBcsC= 3sinAsinCcsB,∵sinA≠0,csB≠0,∴1csC= 3sinC,
故sinC= 3csC，进而tanC= 3，
由于C∈0,π,所以C=π3
(2)由面积公式得S▵ABC=12absinC=12ab× 32=18 3，解得ab=72，
∵S▵ABC=S▵BCD+S▵ACD，∴18 3=12b⋅CDsin30°+12a⋅CDsin30°，
即12CD⋅sin30°(a+b)=18 3，∴a+b=18，
又∵ab=72，∴c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=182−3×72=108，
∴c=6 3．
18.(1)在▵ACD中，∠CAD=π2−α，∠ACD=π4，则∠ADC=π4+α，
由正弦定理，ADsinπ4=ACsinπ4+α，即300 22=ACsinπ4+α，
解得AC=300 2sinπ4+α，
∴S=12AD⋅ACsin∠CAD=12×300×300 2sinπ4+αsinπ2−α
=225002cs2α+2sinαcsα=22500sin2α+cs2α+22500
=22500 2sin2α+π4+22500，
∵α∈π24,5π24，则2α+π4∈π3,2π3，∴sin2α+π4≤1，
所以当2α+π4=π2，即α=π8时，S取得最大值，最大值为22500 2+22500．
(2)在▵ABC中，由正弦定理ACsin3π4=BCsinα，得BC= 2ACsinα，
同理可得AB= 2ACsinπ4−α，
∴AB+ 2BC= 2ACsinπ4−α+2ACsinα
=600sinπ4−αsinπ4+α+600 2sinαπ4+α
=600sinπ4+αsinπ4−α+ 2sinα=600sin2π4+α
=3001−csπ2+2α=3001+sin2α，
∵α∈π24,5π24，∴2α∈π12,5π12，
因为y=sinx在π12,5π12上单调递增，所以sin2α≥sinπ12，
∴AB+ 2BC≥3001+sinπ12=300×1.26=378m，
所以建造护栏所需费用的最小值为378×200=75600元.
19.(1)因为f(x)=sinπx+csπx，
所以f(x−1)=sin[π(x−1)]+cs[π(x−1)]=−sinπx−csπx，
所以f(x−1)−f(x)=−2sinπx−2csπx=0不恒成立，
所以函数f(x)=sinπx+csπx不是一个阶数为−1的回旋函数．
(2)设f(x)=sinωx是阶数为t的回旋函数，则sin[ω(x+t)]+tsinωx=0，
若ω=0，上式对任意实数x均成立；
若ω≠0，sin[ω(x+t)]=−tsinωx，
因为y=sinx的值域为[−1,1]，所以t=±1，
当t=1时，对任意实数x有sin[ω(x+1)]=−sinωx=sin(ωx+π)，
则ωx+ω=ωx+π+2kπ，k∈Z，
所以ω=(2k+1)π，k∈Z；
当t=−1时，对任意实数x有sin[ω(x−1)]=sinωx，
则ωx−ω=ωx+2kπ，k∈Z，所以ω=−2kπ，k∈Z．
综上所述，ω=mπ，m∈Z．
(3)因为f(x+t)+tf(x)=sin[ω(x+t)]−1+tsinωx−t=0对任意的x都成立，
由(2)可知t=−1，ω=2mπ，m∈N∗，
所以f(x)=sin2mπx−1．
令f(x)=0，解得x=14m+km(k∈Z).
因为函数f(x)在[0,1]上恰有2024个零点，所以14m+2023m≤1