海南省海口市2024届高三上学期1月摸底考试（海口一模）数学试卷（含答案）

这是一份海南省海口市2024届高三上学期1月摸底考试（海口一模）数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.40
4.一个近似圆台形状的水缸，若它的上､下底面圆的半径分别为和，深度为，则该水缸灌满水时的蓄水量为（ ）
A. B. C. D.
5.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为为偶函数，，则（ ）
A. B. C.0 D.
7.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流（单位：安培）与时间（单位：秒）满足函数关系式：（其中为供电的最大电流，单位：安培；为角速度，单位：弧度/秒；为初始相位），该三相交流电的频率（单位：赫兹）与周期（单位：秒）满足关系式.某实验室使用10赫兹的三相交流电，经仪器测得在秒与秒的瞬时电流之比为，且在秒时的瞬时电流恰好为1.5安培.若，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为（ ）
A.1安培 B.安培 C.2安培 D.3安培
8.已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.数据的第45百分位数是4
B.若数据的标准差为，则数据的标准差为
C.随机变量服从正态分布，若，则
D.随机变量服从二项分布，若方差，则
10.已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.
B.
C.当时，取最大值
D.当时，的最小值为27
11.已知是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（ ）
A.
B.点的轨迹方程为
C.的最小值为6
D.的最大值为
12.设函数，则（ ）
A.
B.函数有最大值
C.若，则
D.若，且，则
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分，第二问3分，共20分.
13.在的展开式中的系数为__________.
14.已知直线是曲线的一条切线，则__________.
15.已知，写出符合条件的一个角的值为__________.
16.已知直线过抛物线的焦点，且与交于两点.过两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段的中点为.若，则__________；面积的最小值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如.若数列满足，且，记.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前2024项和.
18.（12分）
一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为，且每次跳高相互独立.
（1）记甲在这次比赛中跳的次数为，求的概率分布和数学期望；
（2）已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.
19.（12分）
已知四棱锥的底面为矩形，，过作平面，分别交侧棱于两点，且
（1）求证：；
（2）若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
20.（12分）
记的内角的对边分别为，已知是边上的一点，且.
（1）求证：；
（2）若，求.
21.（12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，离心率为，焦点到渐近线的距离为2.直线过点，且垂直于轴，过的直线交的两支于两点，直线分别交于两点.
（1）求的方程；
（2）设直线的斜率分别为，若，求点的坐标.
22.（12分）
已知函数.
（1）若的最小值为1，求；
（2）设为两个不相等的正数，且，证明：.
机密★启用前
海口市2024届高三摸底考试数学试题
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.24 14.2 15.（答案不唯一） 16.4，4
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
【解】（1）因为，
所以，
所以，
所以数列的奇数项，偶数项分别构成公差为2的等差数列.
当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
所以.
（2）设的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以.
18.（12分）
【解】记“第跳过该高度”分别为事件.
（1）的可能取值为，且
；
；
.
所以的概率分布为
所以，.
（2）“甲同学挑战成功”为事件B，则
所以.
答：甲挑战成功，且第二次跳过该高度的概率.
19.（12分）
【解】（1）证明：因为四边形是矩形，所以.
又平面平面，
所以平面.
因为，平面，
所以.
因为，所以.
因为四边形为矩形，所以，
又平面且，
所以平面.
因为平面，
所以.
（2）设中点分别为，
因为是等边三角形，所以.
因为四边形是矩形，点分别为的中点，
所以，且.
由（1）可知，平面，
又平面，所以，所以.
以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立
空间直角坐标系，
则，
.
设，
则，
所以.
设平面的一个法向量为，
又，
由得
解得
不妨取，可得平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
设，
则.
因为，所以，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
20.（12分）
【解】（1）在中，由正弦定理，得，
所以，
同理.
代入，得，
在中，由正弦定理，得，
所以，即.
因为是边上的一点，
所以，即.
（2）因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
同理，.
因为，所以，
化简，得.
在中，由余弦定理，得，
所以，
所以.
21.（12分）
【解】（1）不妨设双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为.
由题意可得：
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意直线的斜率不为0.
设直线方程为，
由，消去得：，
由，得：.
设，则.
由题意可知，则直线.
令，得，所以坐标为，
同理，坐标为，
所以.
因为，所以，
整理得：.
又
，
所以.
因为，所以，即，
所以点的坐标为.
22.（12分）
【解】（1）函数的定义域为，
令，则，
所以函数在上单调增.
又，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
（2）由，得，
即即.
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
不妨设.
令，
则.
当时，，
所以当函数单调递减，
所以，即，
又，所以.
因为，当时函数单调递增，
所以，所以，
因为，所以，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
B
A
D
A
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ABD
BC
ACD
1
2
3