云南省保山市腾冲市第一中学2023--2024学年高一下学期第三次考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1. 已知集合，集合，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数的定义域，化简集合集合，再利用交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，集合，
所以由交集的定义可得，故选C.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2. 下列函数是偶函数的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数定义进行判断选择.
【详解】定义域为R，，所以为奇函数；
定义域为R，，所以为偶函数；
定义域为R，，所以为奇函数；
定义域为，所以为非奇非偶函数，
故选：B
【点睛】本题考查判断函数奇偶性性质求参数，考查基本分析判断能力，属基础题.
3. 如图：正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，侧棱AB＝2，BD平行于过点C的截面CB1D1，则截面CB1D1与正三棱锥A﹣BCD侧面交线的周长的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】把正三棱锥A﹣BCD的侧面展开，则两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值，然后根据已知的数据可求得答案
【详解】把正三棱锥A﹣BCD的侧面展开，
两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值．
正三棱锥A﹣BCD中，∠BAD＝30°，所以AC⊥AC′，AB＝2，
∴CC′＝，
∴截面周长最小值是CC′＝．
故选：D．
4. 如图，在中，，，若点满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以有，
，
故选：A
5. 若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围.
【详解】由在上递增，且值域为，
由，开口向上且对称轴为，
所以，二次函数在上递减，在上递增，
要使有最小值，
当时，显然不成立；
当时，，则，可得；
综上，实数的取值范围是.
故选：B
6. 在平面直角坐标系中，已知向量，，，若，则x＝（ ）
A. －2B. －4
C －3D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】
可由条件先求出，由此可求出，即可根据向量共线的坐标表示求出.
【详解】因为，所以，则．
所以．
因为，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量关系的坐标表示，属于基础题.
7. 已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（ ）
A. （2，4）B. （2，5）C. （1，5）D. （1，4）
【答案】A
【解析】
【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可
【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点
由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下，
由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；
故，解得；
故选：A．
8. 如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作，垂足为H，过点F作，交AB于点P，设，用表示，在中，求出的函数关系，可求t的取值范围.
【详解】如图，在平面内过点D作，垂足为H，连接HK．过点F作，交AB于点P．
设，，，所以．
设，则．因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
又平面，所以．
又因为，，，平面，所以平面，
平面，所以，即．
在中，，，
因为和都是直角三角形，，，
所以，则有．
因为，所以，，，
所以，，得．
因为，所以．
故选：A.
二、多选题
9. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则z为实数D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的相关概念和几何意义，逐项分析判断即可得解.
【详解】∵，∴A正确；
共轭复数的模相等，∴B正确；
，∴C正确.
和z在复平面内对应的点关于实轴对称，∴D错误；
故选：ABC
10. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 恒过定点
C. 若时，关于轴对称D. 若时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据为幂函数，可求得a值，即可判断A的正误；根据幂函数性质，可判断B的正误；当时，根据偶函数的定义及性质，可判断C的正误；根据m的范围，可得范围，根据幂函数的性质，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得，故A正确；
则，故恒过定点，故B正确；
当时，，，
所以为偶函数，则关于轴对称，故C正确；
当时，，则在(0,+∞)上为增函数，
所以，故D错误.
故选：ABC
11. 在，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则必有两解
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则为锐角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误；
对于B，，即，必有两解，故B正确；
对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确；
对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
三、填空题
12. 从某果树上随机摘下11个水果，其直径为（单位：，则这组数据的第六十百分位数为__________.
【答案】20
【解析】
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】第六十百分位数的位置为，即取第7位数20，
故第六十百分位数为20.
故答案为：20.
13. 已知，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的基本关系式，求得，再结合正切的倍角公式，列出方程，即可求解.
【详解】由，可得，
因，所以，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，可得，所以.
故答案为：.
14. 如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作于点，底面，根据正四棱台的体积求出棱台的高，即可判断四棱台外接球的球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积.
【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，则，
底面，平面，∴．
过作于点，则，∴底面．
∴该正四棱台的体积，∴．
连接，∵，
∴四棱台外接球的球心在的延长线上，
设，则，，
，
由，得，解得，
故，即外接球的半径，
∴外接球表面积为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出正四棱台的高，从而确定外接球的球心球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径.
四、解答题
15. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下．

（1）求实数的值；
（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）．
【答案】（1）
（2）41.5岁 （3）42.1岁
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值；
（2）根据频率分布直方图，可直接估算平均数；
（3）直接求频率在的数据就可估计中位数.
【小问1详解】
由题意：，解得．
【小问2详解】
由题意：，
估计这200人年龄的样本平均数为41.5岁．
【小问3详解】
由图可知，年龄在的频率为0.25，在的频率为0.35，
，
估计这200人年龄的样本中位数为42.1岁．
16. 设的内角所对的边分别是且向量满足.
（1）求A；
（2）若，求BC边上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到，求出；
（2）由余弦定理得到，根据三角形面积得到方程，求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又，解得；
【小问2详解】
因为，所以，
即
化简得，解得或(舍去)，
由的面积，又，
故，解得.
17. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理结合中位线证明即可；
（2）先由几何关系证明截面为平行四边形，再由边长关系得到，然后根据对角线乘积一般求出面积即可；
【小问1详解】
证明：连接，由为的中位线，可得，
由平面平面，可得平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，可得，
取的中点，连接，可得，
可得截面为平行四边形，
且，即平行四边形为菱形，
而，
所以截面的面积为.
18. 已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式，并求在区间上的值域；
（2）若，且函数在区间上单调，求a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，借助对称性求出，再利用正弦函数图象性质求出值域.
（2）由（1）求出函数的单调区间，再借助集合的包含关系列式求解即得.
【小问1详解】
由向量，
则，
由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则，
于是，当时，，
当，即时，，当，即时，，
所以，在区间上的值域为.
【小问2详解】
由（1）知，
令，解得，
即函数的单调区间为，而函数在区间上单调，
因此，即，
解得，显然，且，
解得，则或，当时，；当时，，
所以实数的取值范围.
19. 已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值；
（3）令，将函数为hx的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得；
（2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；
（3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出.
【小问1详解】
函数，
若，
则与是相邻的最小值点和最大值点，
所以的最小正周期为，
由，解得；
【小问2详解】
，
，
，所以或，
解得或，又， 得，
所以，函数最小正周期，
令gx=0，即，解得或，
若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点，
所以的最小值为；
【小问3详解】
由题意，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
又因为函数的最大值为10，
所以同时取得最大值，
所以，所以，
所以满足条件的最小值为．
【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关