广东省梅州市梅州中学、兴宁市齐昌中学等2024-2025学年高一下学期3月六校联考 数学试题（含解析）

这是一份广东省梅州市梅州中学、兴宁市齐昌中学等2024-2025学年高一下学期3月六校联考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．考试结束后只需交答卷．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间.
【详解】因为函数和函数在上都单调递增，
所以函数为增函数，
又，，，，
由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.
故选：C.
3. “”是“在上恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次不等式在上恒成立结合参变量分离法求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】根据题意，若在上恒成立，
所以，在上恒成立，
由“对勾函数”可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，可得，
所以，在上恒成立“的充要条件是”“，
因为，
因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若向量，且A，C，D三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，再由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由三点共线，得，
又，得，解得.
故选：B
5. 设，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找中间值，得到，，，即可求得结果.
【详解】因为，故；
因为，故；因为，故；
故
故选：D
6 已知，且，则（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解.
【详解】由可得，
由，
故，故，由于，故，
故选；B
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】因为
，
所以，
故选：D
8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果.
【详解】若函数在上单调递增，
由，
得，
所以，又，
取，得，
若函数在上单调递减，
由，
得，
所以，
又，
取，得，
所以的取值范围是，
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9. 已知向量，，则（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D.
【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误；
选项B，若，则，解得，
则，故B项正确；
选项C，若，则，所以，故C项正确；
选项D，，则，，，
所以，所以与的夹角不是，故D项错误，
故选：BC
10. （多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的周长为D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理化角为边即可判断A；利用同角三角函数的关系即可判断B；利用余弦定理求出，即可判断C；根据三角形的面积公式即可判断D.
【详解】对于A，因为，
由正弦定理得，整理得，即，A正确；
对于B，由可得，
则，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
又，可得，
整理得的周长为，故C错误；
对于D，由上知：，，可得，
则的面积为，故D正确．
故选：ABD.
11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ）
A. 所有偶函数都具有性质
B. 具有性质
C. 若，则一定存正实数，使得具有性质
D. 已知，若函数具有性质，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用性质可判断A；利用基本不等式结合性质可判断B；根据函数的值域可判断C；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断D.
【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则，
可得，
所以所有偶函数都具有性质，故A正确；
对于选项B：因为，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
又因为，故对任意的，，
所以具有性质，故B正确；
对于选项C：因为，
且函数的值域为，
所以不存在实数，使得，故C错误；
对于选项D：因为
，
因为，，，则，则，
可得，即，则，
要使得恒成立，则，
又因为，则，
所以，若函数具有性质，则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【解析】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
13. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果.
【详解】由题意得，
所以，
因为，所以可得 ，
所以，
又因为是第二象限角，则，可得
所以.
故答案为：.
14. 在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
【答案】30
【解析】
【分析】先证明四边形ABCD为矩形，然后即可求出面积.
【详解】，又因为
所以四边形ABCD为矩形，所以
所以.
故答案为：30.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
16. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式在上的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数即可求解；
（2）由题可得sin(2x−π6)>0，再利用正弦函数性质即可求解
【小问1详解】
∵
∴，
由，得，
即在上单调递增，
所以函数单调递增区间是；
【小问2详解】
由得，12+sin(2x−π6)>12，即sin(2x−π6)>0，
又，，
∴，即，
∴不等式在上的解集为.
17. 已知函数．
（1）若在上具有单调性，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意,恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求其对称轴，则或即可求得；
（2）参变分离，求函数的值域即可.
【小问1详解】
其对称轴为，
若在上具有单调性，则或，得或，
则实数的取值范围为.
【小问2详解】
在上恒成立，
则在上恒成立，
因在上单调递减，在上单调递增，则，
故，则数的取值范围为.
18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的基底表示向量.
（2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解.
（3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
由，得，所以.
【小问2详解】
在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
19. 在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足
（1）求角；
（2）为边上一点，，且求的最小值.
（3）圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由三角形的面积公式及余弦定理，辅助角公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小；
（2）由题意可得为角平分线，再由等面积法可得，由基本不等式可得的范围，进而求出三角形的面积的最小值；
（3）由正弦定理可得三角形外接圆的半径，再由向量的运算及基本不等式可得的最小值．
【小问1详解】
由及，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以，即，
因为，
所以，
即；
【小问2详解】
在中，由正弦定理可得：，即，
在中，由正弦定理可得：，即，
且与互为补角，可得，
即，又，且，即，所以，
又，所以，所以为的角平分线，
所以，
由可得，
所以，解得，当且仅当时取得等号，
即的最小值为，
所以；
即的面积的最小值为；
【小问3详解】
设圆半径为，则，
设，，则，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是设，，从而得到，再根据数量积的定义将转化为关于的式子.