2025年广东省广州十六中教育集团中考数学一模试卷

这是一份2025年广东省广州十六中教育集团中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（﹣）﹣1的值是（ ）
A．﹣B．2C．﹣2D．
2．（3分）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2024年度广州市经济总量为31032.5亿元，在全国所有城市中排名第五位．31032.5亿这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.10325×104B．31032.5×108
C．3.10325×1012D．3.10325×1013
4．（3分）“凤凰单枞”以独特的山韵和花香深受广东人喜爱．在我国传统节日春节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的单枞（售价、利润均相同）在这段时间内的销售情况统计如表所示，最终决定增加乙种包装单枞的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a2＝2a4B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．6a2÷3a2＝2a2D．（﹣a2）3＝﹣a6
6．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+1的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣6）B．（0，﹣5）C．（0，﹣4）D．（0，﹣3）
7．（3分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A．B．2C．D．3
8．（3分）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．B．C．2D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 命题．（填“真”或“假”）
12．（3分）因式分解：x3﹣4x＝ ．
13．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为 ．
15．（3分）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为6π，圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径为 ．
16．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解不等式组，并写出它的整数解．
18．（4分）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．求证：△EAB≌△ECB．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＜90°．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线交AC于点O，交BC于点D，在线段DO的延长线上截取线段OE，使OE＝OD，连接AE，CE，AD．（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）
（2）试猜想四边形ADCE的形状，并进行证明．
21．（8分）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52′；无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′．AB＝10m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．
（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00．）
22．（10分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ ，n＝ ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+PM的最小值．
25．（12分）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．
2025年广东省广州十六中教育集团中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．（3分）（﹣）﹣1的值是（ ）
A．﹣B．2C．﹣2D．
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
2．（3分）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A，B，C不可以看作轴对称图形，D可以看作轴对称图形．故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（3分）2024年度广州市经济总量为31032.5亿元，在全国所有城市中排名第五位．31032.5亿这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.10325×104B．31032.5×108
C．3.10325×1012D．3.10325×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：31032.5亿＝3103250000000＝3.10325×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）“凤凰单枞”以独特的山韵和花香深受广东人喜爱．在我国传统节日春节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的单枞（售价、利润均相同）在这段时间内的销售情况统计如表所示，最终决定增加乙种包装单枞的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的茶叶就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该经销商决策的统计量是众数．
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a2＝2a4B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．6a2÷3a2＝2a2D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．根据完全平方公式进行计算，然后判断即可；
C．根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵a2•a2＝a4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵6a2÷3a2＝2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、完全平方公式、单项式除以单项式法则和幂的乘方法则．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+1的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣6）B．（0，﹣5）C．（0，﹣4）D．（0，﹣3）
【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x+1的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝3x﹣5，
令x＝0，则y＝﹣5，即平移后的图象与y轴交点的坐标为（0，﹣5）．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】根据垂直先求出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC、Rt△ADB、Rt△EBD中，分别用三角函数求出AD、BD、DE的长，进而求出AE的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝8，∠C＝45°，
∴∠C＝∠DAC＝45°，
∴AD＝DC＝ACsin45°＝AC＝4，
在Rt△ADB中，AD＝4，∠ABD＝60°，
∴BD＝ADtan30°＝AD＝，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBD＝30°，
在Rt△EBD中，BD＝，∠EBD＝30°，
∴DE＝BDtan30°＝BD＝，
∴AE＝AD﹣DE＝．
故选：C．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，掌握此性质定理的应用，三角函数的应用是解题关键．
8．（3分）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴，，∠ACO＝∠ODB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．
【解答】解：连接FB．
∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠FEB＝∠FOB＝70°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF＝55°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF＝20°，
∴∠EFO＝∠EBO，
∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A．B．C．2D．1
【分析】由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解．
【解答】解：连接AC，交EF于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵AB＝，BC＝1，
∴AC＝＝＝2，
∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，
∴CF＝AE，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
又∵∠COF＝∠AOE，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO＝1，
∵AG⊥EF，
∴点G在以AO为直径的圆上运动，
∴AG为直径时，AG有最大值为1，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 假 命题．（填“真”或“假”）
【分析】根据a＞b，可得出a﹣3＞b﹣3，进而可判断出若a＞b，则a﹣3＜b﹣3是假命题．
【解答】解：∵a＞b
∴a﹣3＞b﹣3，
∴若a＞b，则a﹣3＜b﹣3是假命题，
故答案为：假．
【点评】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，关键是不等式性质的应用．
12．（3分）因式分解：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
13．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【分析】直接利用二次根式有意义则被开方数是非负数，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：要使有意义，则x+1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，注意分式有意义的条件是解题关键．
14．（3分）如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为 3 ．
【分析】先利用等角的余角相等得到∠ABF＝∠DFB，则DB＝DF，所以AD＝BD＝5，再证明△ADE∽△ABC，然后利用相似比求出DE＝8，由于利用DF＝AD＝5，于是计算DE﹣DF即可．
【解答】解：∵AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，∠DFA+∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴DB＝DF，
∴AD＝BD＝5，
∵E是AC边上的中点，
∴AE＝CE，
∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴DE＝×16＝8，
∵DF＝AD＝5，
∴EF＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
15．（3分）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为6π，圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径为 ．
【分析】圆锥的母线长为R，根据扇形面积公式列关于R的方程并求解；设圆锥的底面圆的半径为r，根据弧长和圆的周长公式列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，则πR2＝6π，
解得R＝3（负值舍去）．
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝，
解得r＝，
∴圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的计算、扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式、弧长和圆的周长计算公式是解题的关键．
16．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 或﹣3 ．
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，
解得：b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，
整理得：x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，
解得：b＝，
所以b的值为：﹣3或，
故答案为：或﹣3．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点的坐标，掌握翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的方法是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解不等式组，并写出它的整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出解集，进而确定出整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x＜，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x＜，
则原不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18．（4分）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．求证：△EAB≌△ECB．
【分析】根据正方形的性质证明AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△EAB和△ECB中，
，
∴△EAB≌△ECB（SAS）．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，熟练找出△EAB和△ECB的全等条件．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】先把化简得，再利用整体代入法求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，已知代数式的值求式子的值，掌握分式的化简求值的一般方法是解题的关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＜90°．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线交AC于点O，交BC于点D，在线段DO的延长线上截取线段OE，使OE＝OD，连接AE，CE，AD．（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）
（2）试猜想四边形ADCE的形状，并进行证明．
【分析】（1）根据作图语句进行作图即可；
（2）根据菱形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：（1）如图即为所求；
（2）四边形ADCE是菱形，理由如下：
由作图可知：DE⊥AC，OA＝OC，OD＝OE，
∴四边形ADCE是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21．（8分）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52′；无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′．AB＝10m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．
（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00．）
【分析】延长DC交AB于点E，根据题意可得：DE⊥AB，CD＝5m，然后设BE＝x m，则AE＝（10+x）m，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，再在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后根据DC+CE＝DE，列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：延长DC交AB于点E，
由题意得：DE⊥AB，CD＝5m，
设BE＝x m，
∵AB＝10m，
∴AE＝AB+BE＝（10+x）m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝36°52′，
∴CE＝AE•tan36°52′≈0.75（10+x）m，
在Rt△BDE中，∠DBE＝63°26′，
∴DE＝BE•tan63°26′≈2x（m），
∵DC+CE＝DE，
∴5+0.75（10+x）＝2x，
解得：x＝10，
∴CE＝0.75（10+x）＝15（m），
∴无人机在C处时离地面的高度约为15m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ 91 ，n＝ 92.5 ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【分析】（1）找出八年级（3）班得90分和95分的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出八年级（1）班学生得分的平均分和中位数即可；
（3）比较两个班的平均数，中位数，众数，以及方差，判断即可；
（4）列表得出所有等可能的情况数，找出所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）补全条形统计图，如图所示：
（2）根据题意得：m＝×（85+95+100+90+90+80+85+90+80+100+80+85+95+90+95+95+95+95+100+95）＝91；
从小到大排列得：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
最中间的两个为90和95，n＝×（90+95）＝92.5；
故答案为：91，92.5；
（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：
平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，
综上所述，八年级（1）班成绩更好一些；
（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，
列表如下：
所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，5），（5，4）共8种，
则P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，中位数，众数，方差，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立，
解得：或，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：，
解得：，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：，
解得：或，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+PM的最小值．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得c＝﹣2，故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）求出抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为（，﹣），对称轴为直线x＝；由|0﹣|＜|2﹣|，知在0＜x≤2时，当x＝2，y取最大值22﹣2﹣2＝0；当x＝时，y取最小值﹣，从而函数值的取值范围是﹣≤y≤0；
（3）连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x＝于P'，设直线x＝交x轴于N，求出B（2，0），BN＝2﹣＝，M（，﹣3），MN＝3，可得BM＝，sin∠BMN＝＝，即得P'H＝P'M，从而P'A+P'M＝P'A+P'H＝AH，由垂线段最短可知，当P与P'重合时，PA+PM最小，最小值为AH的长度，根据面积法求出AH＝＝＝，故PA+PM的最小值为．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c，
解得c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为（，﹣），对称轴为直线x＝；
∵|0﹣|＜|2﹣|，
∴在0＜x≤2时，当x＝2，y取最大值22﹣2﹣2＝0；当x＝时，y取最小值﹣；
∴当0＜x≤2时，函数值的取值范围是﹣≤y≤0；
（3）连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x＝于P'，设直线x＝交x轴于N，如图：
在y＝x2﹣x﹣2中，令y＝0得0＝x2﹣x﹣2，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0），
∴BN＝2﹣＝，
∵将抛物线的顶点（，﹣）向下平移个单位长度得到点M，
∴M（，﹣3），MN＝3，
∴BM＝＝＝，
∴sin∠BMN＝＝＝，
∴＝，
∴P'H＝P'M，
∴P'A+P'M＝P'A+P'H＝AH，
由垂线段最短可知，当P与P'重合时，PA+PM最小，最小值为AH的长度，
∵2S△ABM＝AB•MN＝BM•AH，
∴AH＝＝＝，
∴PA+PM的最小值为．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法．
25．（12分）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．
【分析】（1）①连接OD，由m＝3可得OA＝OD＝2，从而CD是OA的垂直平分线，可得△AOD是等边三角形，故∠OAD＝60°；
②连接AQ，证明△ADH∽△ABQ，可得＝，即得＝2；
（2）连接AQ、BD，证明△APD∽△ADB，得＝，由AP＝1，PB＝m，即得AD＝，而＝，故＝；
（3）由BQ＝•DH，得BQ2﹣2DH2+PB2＝（m﹣1）•DH2+m2，BQ2﹣2DH2+PB2是定值，需（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，即当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，即可得∠BQD＝45°．
【解答】解：（1）①连接OD，如图：
∵m＝3即PB＝3，AP＝1，
∴AB＝AP+PB＝4，
∴OA＝OD＝AB＝2，
∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，
∴P是OA中点，
又CD⊥AB，
∴CD是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD＝OA＝2，即△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
②连接AQ，如图：
∵AB是⊙O直径，
∴∠AQB＝90°，
∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝90°，
∴∠AQB＝∠AHD，
∵＝，
∴∠ADH＝∠ABQ，
∴△ADH∽△ABQ，
∴＝，
由①知：AB＝4，AD＝2，
∴＝2；
（2）连接AQ、BD，如图：
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠APD，
又∠PAD＝∠DAB，
∴△APD∽△ADB，
∴＝，
∵AP＝1，PB＝m，
∴AB＝1+m，＝，
∴AD＝，
与（1）中②同理，可得：＝，
∴＝＝；
（3）由（2）得＝，
∴BQ＝•DH，即BQ2＝（1+m）•DH2，
∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（1+m）•DH2﹣2DH2+m2＝（m﹣1）•DH2+m2，
若BQ2﹣2DH2+PB2是定值，则（m﹣1）•DH2+m2的值与DH无关，
∴当m＝1时，BQ2﹣2DH2+PB2的定值为1，此时P与O重合，如图：
∵AB⊥CD，OA＝OD＝1，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∵＝，
∴∠BQD＝45°，
故存在半径为1的⊙O，对Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2是定值1，此时∠BQD为45°．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及等边三角形性质及判定、线段的垂直平分线、三角形相似的判定及性质、代数式定值等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造相似三角形，求得的值，难点是掌握代数式为定值需满足的条件：与哪个量无关，哪个量的系数即为0．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/24 16:27:59；用户：肖唐杰；邮箱：[email protected]；学号：37373846包装
甲
乙
丙
丁
销售量（盒）
15
28
16
10
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
m
n
95
41.5
八年级（3）班
91
90
p
26.5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C．
A
D
B
C
A
B
D
包装
甲
乙
丙
丁
销售量（盒）
15
28
16
10
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
m
n
95
41.5
八年级（3）班
91
90
p
26.5
1
2
3
4
5
1
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（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
﹣﹣﹣
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
﹣﹣﹣
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
﹣﹣﹣