广东省肇庆市鼎湖中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省肇庆市鼎湖中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共14页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知数列的首项，且满足，则（ ）
A. B. C. 16D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件得出数列是以，的等差数列，即可求出结果.
详解】由，得到，又，
所以数列是以，公差的等差数列，得到，
故选：B.
2. 记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列前项和公式的形式，可以得到。从而得到，当时，得.
【详解】显然，等比数列前项和公式为，
因为为等比数列的前项和，所以，
所以
所以.
故选：C
3. 已知等差数列中，，则（ ）
A. 8B. 4C. 16D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】解：由等差数列的性质知，
所以，
所以，
所以，
故选：B
4. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则公比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由，，为等差数列，则，即，
所以，整理得，解得或（舍去）
故选：C.
5. 一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数.
【详解】根据等差数列的性质得：，，
解得：，故该数列的项数为.
故选：B
6. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A. 2B. C. 10D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
7. 下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，，可推测，以上式子累加，结合等差数列的求和公式可得答案．
【详解】，，，，，，，，
等式两边同时累加得，即，也符合该式，
所以第个图形中小正方形的个数是．
故选：C
8. 已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案．
【详解】各项为正的数列，
，
时，，
即，化为：，
，，
又，解得，
数列是等差数列，首项为1，公差为2．
，
，
，当且仅当时取等号，
的最小值为2．
故选：D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对，得部分分）
9. 设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（ ）
A. B.
C. 与均为的最大值D. 当时，n的最小值为13
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过数列的性质可将化为，结合，则选项A可判定；由，，，，通项公式构建公差的不等式组， 则选项B可判定； 等差数列中，，可知的最大值为，则选项C可判定；将，转化为前n项的和的正负，即可判定D选项.
【详解】等差数列中，则，即，
所以由等差数列的性质可得，又，所以，故A正确；
已知，，，，
所以，，，
解得，故B正确；
等差数列中，，可知的最大值为，故C错误；
等差数列中，所以，
继而可得，又，故D正确.
故选: ABD.
10. 已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等比数列
B. 数列是等比数列
C.
D. 数列的前n项的和
【答案】BC
【解析】
【分析】计算数列前三项可判断A；利用，构造等比数列，可判断B，C；结合C的结果以及等比数列前n项和公式可判断D.
【详解】由题意数列的首项，且满足，则，
则，故数列不是等比数列，A错误；
由得，，否则与矛盾，
则，则数列是等比数列，B正确；
由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为，
则，所以，C正确；
数列的前n项的和为，D错误.
故选：BC
11. 已知等比数列的前项和为，且，为等差数列，且，，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，利用与的关系以及等比数列的基本量运算即可求其通项；对于B，利用A的结论，结合等差数列基本量运算可得；对于C，根据A，B项所求易得的通项；对于D，利用分组求和法与等比、等差数列求和公式计算即得.
【详解】对于A，设等比数列的公比为，由，得，
两式相减得，即，所以，
又，因为等比数列，故，联立解得，
所以，A错误；
对于B，设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以，B正确；
对于C，由，得，
则集合中元素的个数为，即，C错误；
对于D，
，D正确．
故选：BD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则在处的切线方程为___________
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求得切线的斜率，求得切点坐标后求得切线方程.
【详解】因为，所以，又因为，所以切点为，
所以曲线在处的切线方程为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，属于基础题.
13. 在等差数列中，，，则数列的前2022项的和为_______．
【答案】2022
【解析】
【分析】首先利用等差数列的项求出数列的通项公式，进一步用分组求和法求和即可.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
∴，故，
∵，∴，
对任意的，，
∴数列的前项的和为
；
故答案为：.
14. 等差数列，的前项和分别为，，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列项的性质和前项和公式计算即得.
【详解】由可得：，
则.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；
（2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【小问1详解】
由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
【小问2详解】
由题意及（1），可得，
则
．
16. 已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用关系求通项公式即可；
（2）应用裂项相消法求和得，即可证.
【小问1详解】
因为，
当时，，
两式相减，得，
当时，满足上式，
故数列通项公式为．
【小问2详解】
由（1）知，故，
所以，
由，则，所以，故．
17. 设单调递减的等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设数列的前项和为，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件结合等差数列的性质可得，解方程组求出，从而可求出，，
（2）由，得，然后分和两种情况求.
【小问1详解】
因为数列为等差数列，所以，
又，解得，或，
又因为数列单调递减，所以，
所以，所以，解得，
所以.
【小问2详解】
由，解得，
，解得，即，
所以当时，，
当时，，
综上.
18. 已知数列中，，．
（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
（3）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）将递推公式适当变形，根据等比数列的定义证明，进而得的通项公式，再得的通项公式；
（2）根据通项公式得到通项公式，再利用错位相减法求和，进而根据不等式的特征求解整数即可；
（3）根据通项公式得到通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
在数列中，由，得，
则，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
则，解得，所以的通项公式．
【小问2详解】
由（1）知.
所以，
则，
两式相减得：
.
因此，，
当时，，
所以由恒成立，可得，
所以使恒成立最小的整数为4；
【小问3详解】
，
所以
.
19. 已知数列，的各项都是正数，是数列的前项和，满足；数列满足，，
（1）求数列和的通项公式；
（2）记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据条件算出 ，再算出 和 ；
（2）对于 采用分组求和的方法，推出 的解析式，再根据条件，计算不等式 ，确定 的范围.
【小问1详解】
依题意，根据，得，
又，，得；
当时，；当时，适合上式，
所以数列的通项公式，所以，，
又因为，所以数列为等比数列，
所以，解得或（舍去），所以；
【小问2详解】
由题意可知，，；
由已知可得 ，
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当为奇数时，，
所以
，
当为偶数时，，所以，
由，得，即，
当为偶数时，对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以，
当为奇数时，对一切奇数成立，当 时 为最大值，所以此时，
故对一切恒成立，则．
综上，，， 的取值范围是.