北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共17页。
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知事件A，B相互独立，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】事件A，B相互独立，，，所以.
故选：A
2. 数列的一个通项公式可以是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各项分子和分母特征进行求解判断即可.
【详解】因为
所以该数列的一个通项公式可以是
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误.
故选：A.
3. 若随机变量的分布列如下表，且， 则表中的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据概率之和为求得的值，然后利用随机变量的数学期望值可求出实数的值.
【详解】由于概率之和为，则，
，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用离散型随机变量分布列和数学期望求参数值，考查运算求解能力，属于基础题.
4. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及古典概率求解即得.
【详解】依题意，
所以.
故选：C
5. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ）
A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.090
【答案】B
【解析】
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】记现任取一件零件它是次品为事件，
则.
故选：B
6. 若数列满足，，则（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，推导出数列的周期即可.
【详解】数列中，由，得，
则，因此数列是周期数列，周期为4，
所以.
故选：D
7. 哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ）
A. 2041年～2042年B. 2061年～2062年
C. 2081年～2082年D. 2101年～2102年
【答案】B
【解析】
【分析】构造等差数列求出其通项公式，给赋值即可．
【详解】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，
则等差数列的通项公式为，
，，
可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年．
故选：B．
8. 生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（ ）
A. B. C. D. m的值暂时无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据回归直线过样本中心点可得解.
【详解】由已知，，
即样本中心为，
又回归方程为，
即，
解得，
故选：B.
9. 已知数列是等差数列，其前n项和为，则“，使得”是“，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】对等差数列的公差进行分类讨论可知充分性成立，再由等差数列前n项和公式可得必要性成立，可得结论.
【详解】根据题意可知，若等差数列的公差为0，
可知“，使得”一定能推出“，使得”，
若等差数列的公差为，
由“，使得”可知都为正数，
因此一定能推出“，使得”；
若等差数列的公差为，
由“，使得”可知都为正数，
当尽量小时，一定能推出“，使得”，
综上可知，充分性成立；
若，使得，即，即可得；
因此至少有一项大于零，即“，使得”，
所以必要性也成立；
即“，使得”是“，使得”的充要条件.
故选：C
10. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，质点P移动六次后位于点，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案．
【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，
则其概率为.
故选：C．
【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率.
【详解】考生成绩X服从正态分布，
则，
所以从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为.
故答案为：
12. 如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是______．
【答案】##0375
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】元件都不正常的概率，
则元件至少有一个正常工作的概率为，
而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，
所以这个电路是通路的概率.
故答案为：
13. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A：两次的点数不同，事件B：两次的点数之和小于6，则在A发生条件下，B发生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出事件A含有的基本事件数，事件含有的基本事件数，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】依题意，投掷一枚质地均匀的骰子两次，有36个不同结果，其中两次点数相同的有6个，
因此事件A含有的基本事件数为30，
事件含有，共8个结果，
所以在发生条件下发生的概率为.
故答案为：
14. 设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且．
则_________；符合条件的的一个值为_________．
【答案】 ①. ②. 1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解；根据离散型随机变量分布列求期望，再求值.
【详解】由题意可知，，所以，
，，
所以，符合条件的的一个值为1.
故答案为：；1
15. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：
①可能为等差数列；
②中最大的项为；
③不存在最大值；
④的最小值为36．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】③④
【解析】
【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出的最小值判断④作答.
【详解】当时，由得，由得，
于是与仅只一个为1，即，因此数列不能是等差数列，①错误；
令，依题意，与均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），
若，则，
，而，，
因此，当且仅当数列为时取等号，
若，则，
，而，，
因此，当且仅当数列为时取等号，
从而的最小值为36，④正确；
当时，取，数列为：
，满足题意，
取，，中最大的项不为，②错误；
由于的任意性，即无最大值，因此不存在最大值，③正确，
所以所有正确结论的序号是③④.
故答案为：③④
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程．
16. 已知数列的前n项和．
（1）求的值；
（2）当n为何值时，最小？
（3）求数列的通项公式．
【答案】（1）12； （2）或；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出的值即可.
（2）利用二次函数的最值问题求解.
（3）利用求解并验证即可.
【小问1详解】
数列的前n项和，
则.
【小问2详解】
，而，
所以当或时，取得最小值.
【小问3详解】
当时，，
而不满足上式，
所以数列的通项公式是.
17. 某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X．
（1）求随机变量X的分布列，期望和方差；
（2）若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差．
【答案】（1）分布列见解析；，；
（2），.
【解析】
【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列，再求出期望和方差.
（2）求出与的关系，再利用期望、方差的性质求解.
【小问1详解】
依题意，的所有可能值为0，1，2，
，
所以的分布列为：
期望，
方差.
【小问2详解】
依题意，每次抽奖的收益，
所以期望,
方差.
18. 已知数列满足，为其前项和，且.
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）判断数列是否为等差数列，并说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用，为其前项和，且，即可求的值；
（2）通过，化简即可证明；
（3）求出数列的通项公式，即可证明数列是等差数列．
【详解】（1）解：由题意知：，即．
所以．
因为，
所以．
（2）证明：因为，
所以．
因为，
所以，即．
因为，
所以．
（3）解：数列是等差数列．
理由如下：
由（2）得：．
所以，即．
由（1）知：，所以．
所以 数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
19. 某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张. 为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下：
景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为元/人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率．
（1）从短视频平台浏览用户中随机选取人，估计此人为购买景区门票用户的概率；
（2）从官方网站平台浏览用户中，随机选取人，用表示这人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望；
（3）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为万人和万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按元/人的标准支付，向短视频平台按元/人的标准支付.为了获得最大的净利润（净利润=售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，75
（3）该景区应选择官方网站平台，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用频率来表示概率，即可求解；
（2）由题知的所有可能取值为，利用独立重复事件的概率公式，求出相应的概率，即可出分布列；再利用期望的计算公式，即可求解；
（3）分别求出两个平台的净利润，即可求解.
【小问1详解】
设 “从短视频平台浏览用户中随机选取人，此人为购买景区门票用户”为事件，则．
【小问2详解】
设 “从官方网站浏览平台用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件，
则用频率估计概率，．
由题意，的所有可能取值为，
则，，
，．
所以随机变量分布列为
期望为．
【小问3详解】
官方网站平台的净利润为（元），
短视频平台的净利润为（元）．
所以该景区应选择官方网站平台继续加大广告宣传费用的投入力度．
20. 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：

（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
（2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，数学期望；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据散点图求出成绩达到优秀的人数，再求出古典概率.
（2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望.
（4）求出及的概率，再利用两点分布求出方差并比较大小.
小问1详解】
依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人，
其中身体素质监测成绩达到优秀的共有，
所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为.
【小问2详解】
依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人，
则可取，
，，，
则的分布列为：
的数学期望.
【小问3详解】
依题意，，服从两点分布，则，
，服从两点分布，则，
，服从两点分布，则，
，服从两点分布，则，
所以.
21. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定．
（1）若，写出及的值；
（2）若数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）设集合，求证：且．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意先分别求出，，，，则易得及的值；
（2）由题可知，分析判断时，与题设矛盾，推得；再假设存在使得，经推理得出与是等差数列矛盾，可得，利用等差数列基本量运算即得；
（3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立.
【小问1详解】
依题意，，，，，
故得；
【小问2详解】
由题可知，所以，所以．
若，则，
所以，与是等差数列矛盾．
所以．
设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以．
假设存使得．
设，由得．
由得，与是等差数列矛盾．
所以对任意都有．
所以数列是等差数列，．
【小问3详解】
因为对于，所以．
所以，即数列是递增数列．
先证明．
假设，设正整数．
由于，故存在正整数使得，所以．
因为是各项均为正整数的递增数列，所以．
所以．
所以．
又因为数列是递增数列，所以，矛盾．
所以．
再证明．
由题可知．
设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数，使得．
令．
若，则，即，所以．
所以，所以．
若，则，
所以．
所以，所以．
因为，所以．
所以．
综上，且．
【点睛】方法点睛：本题主要考查集合新定义问题，属于难题.对于集合新定义问题的解题策略，首先，要明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行推理和运算，最后得到结论.
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