2025年中考第二次模拟考试卷：数学（广州卷）（解析版）

这是一份2025年中考第二次模拟考试卷：数学（广州卷）（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果把收入8元记作元，那么支出10元记作（ ）
A．元B．10元C．元D．元
【答案】A
【分析】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键．
根据相反意义的量的意义解答即可．
【详解】解：如果把收入8元记作元，那么支出10元记作元，
故选：A．
2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
3．根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到亿斤．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．13.9082×1011B．1.39082×1012C．1.39082×1013D．0.139082×1013
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】亿．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A、，故本选项的计算错误；
B、，故本选项的计算错误；
C、，故本选项的计算错误；
D、，故本选项的计算正确．
故选：D
5．点P的坐标为，那么点P关于y轴对称点N的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的性质，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解．
【详解】解：∵点P与点N关于y轴对称，
，
故选：C．
6．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定条件，可确定三角形的形状和大小，即可．
【详解】解：A、，，，的形状和大小不能确定，不符合题意；
B、，，，根据“”可判断是唯一的，符合题意；
C、，，，的形状和大小不能确定，不符合题意；
D、，，，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
7．下列说法：
有两边对应相等的两个等腰三角形全等；周长相等的两个等边三角形全等；有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；有两边和一角对应相等的两个三角形全等．其中错误的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理，逐一进行判断即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：有两边对应相等的两个等腰三角形不一定全等，如果两等腰三角形的两腰对应相等但底不相等，两等腰三角形则不全等，符合题意；
周长相等的两个等边三角形的三边也对应相等，符合，，，，不符合题意；
有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，如果直角边和斜边对应相等，那么两个直角三角形不全等，符合题意；
有两条边和一角对应相等的两个三角形，当角是两边的夹角是可以判定这两个三角形全等，当角不是两边的夹角时，就不能判定这两个三角形全等，符合题意；
综上说法错误，共个，
故选：．
8．如图，已知点G是矩形ABCD的边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，当点P从点B向点C运动2cm时；AB＝6cm，AD＝5cm，则EF的长度为（ ）
A．3B．3C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据四边形是矩形得到，，根据点P从点B向点C运动2cm得到，进而在中，利用勾股定理得出的长度，最后根据三角形的中位线即可求出的长．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，，
，
点P从点B向点C运动2cm时， ，
，
在中，
，
点E，F分别是GD，GP的中点，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及三角形的中位线，掌握相关的定理是解题的关键．
9．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（ ）
A．3B．4C．2.5D．7
【答案】A
【详解】分析：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，根据两角对应相等的两三角形相似，得到△AOD∽△OCE，再根据相似三角形的性质得到面积比=3，然后根据三角形的面积和反比例函数的系数性质求解即可.
详解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴=tan60°=，则=3，
∵点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，
∴|xy|=AD•DO=×9=，
∴k=EC×EO=，
则EC×EO=3．
故选：A．
点睛：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；熟练运用相似三角形的判定与性质解决线段相等的问题．
10．如图，平行四边形ABCD中，于点E，CE的垂真平分线MV分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：（1）（2）（3）（4）·其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①由平行四边形性质可得AB∥CD，由线段垂直平分线性质可得ME=MC，再根据等角的余角相等可得①正确；②构造△AME≌△DMG（ASA），即可证明②正确；③利用平行四边形性质、线段垂直平分线性质和AD=2AB可得四边形CDMN是菱形，依据菱形性质即可证明③正确；④S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON＜S菱形CDMN，④不一定成立；
【详解】解：延长EM交CD的延长线于G，如图，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠AEM=∠G
∵CE⊥AB
∴CE⊥CD
∵MN垂直平分CE，
∴ME=MC
∴∠MEC=∠MCE
∵∠MEC+∠G=90°，∠MCE+∠DCM=90°
∴∠DCM=∠G
∴∠AEM=∠DCM
故①正确；
∵∠DCM=∠G
∴MC=MG
∴ME=MG
∵∠AME=∠DMG
∴△AME≌△DMG（ASA）
∴AM=DM
故②正确；
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC
∵CE⊥AB，MN⊥CE
∴AB∥MN∥CD
∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形
∴MN=AB
∵AM=MD=AD，AD=2AB
∴MD=CD=MN=NC
∴四边形CDMN是菱形
∴∠BCD=2∠DCM，
故③正确；
设菱形ABNM的高为h，则S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON=（BE+ON）×h= ON×h
∵OM=（AE+CD）
∴CD＜OM＜AB
∴ON＜CD
∴S四边形BEON＜CD×h=S菱形CDMN，
故④不一定成立；
故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共18分.）
11．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ．
【答案】 （y﹣z）（2a+3b） xy（x+1）（x﹣1）
【分析】把变形为：，再提取公因式即可；把提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b），
x3y﹣xy
＝xy（x2﹣1）
＝xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（y﹣z）（2a+3b）；xy（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题考查的是因式分解，同时考查了提公因式法分解因式，综合提公因式与公式法分解因式，掌握以上知识是解题的关键．
12．如图，AB//CD，GH⊥EF于，，则的度数为 ．
【答案】121°/121度
【分析】利用垂直的定义及直角三角形的性质得到∠1+∠4=90°，求出∠4的度数，根据平行线的性质得到∠3=∠4，再根据邻补角的定义求出∠2的度数．
【详解】解：∵GH⊥EF，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠4=90°-∠1=90°-31°=59°，
∵ABCD，
∴∠3=∠4=59°，
∴∠2=180°-∠3=121°，
故答案为：121°．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质求出∠3的度数是解题的关键．
13．已知，则的平方根是 ．
【答案】±（+1）
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可.
【详解】解：根据题意得 =0，且b+1=0，
解得：a=，b=-1，
则（a-b）2=，则平方根是：±（+1）．
故答案是：±（+1）．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得：，解得，
∵方程有实数根，
∴，解得：，
∴实数a的取值范围是且．
故答案为：且．
15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，y随x增大而增大，即可求解．
【详解】解：，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16．如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则的半径等于 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理及垂径定理，解直角三角形，连接，交于点，由垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接，交于点，
∵点是弧中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴ ，
即的半径等于，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.）
17．计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算零次幂、开方、绝对值和特殊角的三角函数值，然后计算加减．关键是能准确确定运算方法，并能进行正确地计算．
【详解】解：原式
．
18．先化简式子，再从0，，中选一个合适的值代入求值．
【答案】，当x=时，原式=
【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后代入一个使原分式有意义的x的值即可．
【详解】解：
=
=
=
=
原分式有意义的条件为x≠0且x≠-1
将x=代入，
原式=．
【点睛】此题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件及二次根式的运算，掌握分式的各个运算法则、分式有意义的条件和分母有理化是解题关键．
19．如图，在中，的角平分线相交于点，
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，由此即可求解；
（2）如图所示，在上截取，可证，可得，，再证，由此即可求证．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴在中，；
（2）证明：如图所示，在上截取，
由（1）可得，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴．
20．某校在调查八年级学生平均每天完成作业所用时间的情况时，从全校八年级学生中随机抽取了n名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间t（分钟）分成五个时间段进行统计：A．，B．，C．，D．，E．，并制成如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
(1)求n的值并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，时间段C所占的百分比为________，时间段D所对应的圆心角的度数等于______；
(3)小颖同学经过分析得出一个推断：这组数据的众数落在时间段C．请你分析她的推断是否合理．
【答案】(1)n的值是50．条形统计图见解析
(2)，
(3)不合理．理由见解析
【分析】（1）用时间段A的人数除以时间段A所求的百分比，可得n的值，再分别求出时间段B的人数，时间段D的人数，即可求解；
（2）用时间段C的人数除以总人数可得时间段C所占的百分比；用时间段D所占的百分比乘以360°，可得时间段D所对应的圆心角的度数，即可求解；
（3）根据从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，即可求解．
【详解】（1）解：因为在条形统计中时间段A的人数为4，在扇形统计图中时间段A占，
所以，．
答：n的值是50．
时间段B的人数为（名），
时间段E的人数为（名），
补全图形，如下图：
（2）解：时间段C所占的百分比，
时间段D所对应的圆心角的度数等于，
故答案为：，；
（3）解：不合理．理由如下：
从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，所以无法得到数据的众数，因此，小颖同学的推断不合理．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
21．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．
（1）求每件甲、乙商品的进货价；
（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？
（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元；（2）共有3种进货方案，方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；（3）方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．
【分析】（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，根据“每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，根据“两种商品的进货总价不高于8080元，且两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
（3）设获得的总利润为w元，根据总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】解：解：（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元．
（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，
依题意，得：，
解得：50≤m≤52，
又∵m为正整数，
∴m可以取50，51，52，
∴共有3种进货方案：
方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；
方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；
方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；
（3）设获得的总利润为w元，则w＝100×10%m+60×25%（100﹣m）＝﹣5m+1500，
∵﹣5＜0，
∴w随m值的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣5×50+1500＝1250．
答：方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系与不等关系，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组以及利用一次函数的性质，解决最值问题．
22．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段的最值问题，是解决本题的关键．
（1）由题意可得，，，所以四边形时平行四边形，所以，分别过作于，于，则，可以证明，得到，所以是菱形；
（2）菱形的面积为，当旋转至如图位置时，取得最大值，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解．
【详解】（1）证明：分别过作于，于，如图1，
，
由题意可得，，，，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
，
，
，
是菱形；
（2）解：∵是菱形，
，
，
当越大时，菱形的面积越大，
旋转如图位置时，如图2，此时取最大值，
设，则，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
23．2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题：
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为
【分析】（1）设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可；
（2）分别把和代入（1）解析式求出对应的，再作差即可．
【详解】（1）解：抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
当时，；
令，则，
解得或（舍去），
，
他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
24．已知四边形内接于，为的直径，，连接．
(1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小：
(2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补可求，利用圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理即可求出；根据点为中点，可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出；
（2）先利用圆周角定理、切线的定义、垂径定理的推论证明，进而得出四边形是矩形，，再利用勾股定理求出，利用垂径定理可得，即可求出的长．
【详解】（1）解：（1）如图①，连接．
四边形内接于，，
，
为的直径，
，
．
点为中点，
，
．
综上可知，．
（2）解：如图②，连接，连接交于点．
为的直径，
，
，
为的切线，
，即，
点为中点，为过圆心的线段，
，即，
，
四边形是矩形，
．
， ，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理及其推论，勾股定理，矩形的判定与性质，圆内接四边形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识，逐步进行推导．
25．【教材呈现】
（1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到，
①旋转中心是点______；旋转角最少是______度．
②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
【结论应用】
（2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）．
②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长．
【答案】（1）①；90；②他的发现正确，理由见解析
（2）①，②10；（3）
【分析】（1）①根据图形可直接得到结论；
②首先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据旋转中线段的相等关系进行等量代换即可得到结论；
（2）①由（1）得再求解即可；
②过作于，交延长线于，先根据有一组邻边相等的矩形是正方形证四边形是正方形．再设，利用（1）中②的结论，在中利用勾股定理可求出；
（3）连接，过点H作，由菱形的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再由三角函数求出得出，最后求解即可．
【详解】解：（1）①经过旋转后得到，
旋转中心是点；旋转角度最少是90度；
故答案为：，90；
②他的发现正确，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
；
（2）①由（1）得
的周长，
故答案为：；
②如图，过作于，交延长线于，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
是的中点，
,
，由（1）中②的结论可得，
设，则，
，
在中，，
，
即，
故答案为：10；
（3）如图，连接，过点H作，
菱形中，，
，
点沿折叠，得到，点沿折叠，得到，，，
，
，
，
，
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【点睛】此题主要考查了图形的旋转、折叠问题，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形及勾股定理，是一道不错的综合题熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．