重庆市荣昌中学2025届高三下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 若 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为 ，所以复数 在复平面内所对应的点的坐标为
，位于第一象限.
故选：A
2. 为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样
获得了 22 名学生在 1 分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：
估计该校学生在 1 分钟内跳绳个数的第 65 百分位数为（ ）
A. 124 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的概念直接计算即可得答案.
【详解】解：因为 ，22 名学生的跳绳成绩从小到大第 15 个数为 ，
所以，该校学生在 1 分钟内跳绳个数的第 65 百分位数为
故选：C
3. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定 的取值范围即可得出结论.
【详解】根据对数函数 在定义域内为单调递增可知 ，即 ；
由三角函数 单调性可知 ；
利用指数函数 为单调递增可得 ；
所以 .
故选：C
4. 若 则 等于（ ）
A. B.
C. D. ＋
【答案】D
【解析】
【分析】将 改为起点为 的向量后再转化可求解.
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∴
故选：D
5. 展开式中的常数项为（ ）
A. 80 B. -80 C. 40 D. -40
【答案】C
【解析】
【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值
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【详解】 展开式 通项公式为: ，化简得 ，令
，即 ，故展开式中的常数项为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
6. 在 中， ，点 在边 上，则“ ”是“ 为 中点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先看条件 ”能否推出“ 为 中点”，再看“ 为 中点”能否推出
“ ”，即可判断答案.
【详解】若 ，不妨设 ， ，则 ，
则
满足条件 有两个，一个是 中点，一个是 点，
故“ ”不能推出“ 为 中点”，
若 中点， ，则 ，
即“ 为 中点”能推出“ ”，
“ ”是“ 是 中点”的必要不充分条件，
故选：B．
7. 已知直线 ： 上存在点 A，使得过点 A 可作两条直线与圆 ： 分
别切于点 M，N，且 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据题意求出 ，转化为直线上存在与 C 距离为 2 的点，利用点到直线距离建立不等式求
解即可.
【详解】由 可得 ，
圆心 ，半径 ，
过点 A 可作两条直线与圆 ： 分别切于点 M，N，
连接 ，如图，
由 知， ，又 ，
所以 ，
由题意，只需直线上存在与圆心距离为 的点即可，
即圆心到直线的距离 ，
解得 ，
故选：C
8. 已知定义在 R 的函数 对任意的 x 满足 ，当 ， ．函数
，若函数 在 上有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得 为周期函数，作出其图象， 的图象有两段，左侧图象不含参数，故可以先
确定 、 的图象在 轴左侧的交点个数，再根据余下交点个数确定 的图象在右侧如何变
化，从而确定出 满足的不等式，解这个不等式就得到 的取值范围．
【详解】因为 ，所以 周期为 ，
如图作出 的图象与 的图象，在 有两个不同的交点，
故 的图象与 在 有 4 个不同的交点，
由此 时的图象应如图所示：
故 ，当 时，解得 ，当 时，解得 ，
故 或 ，
故选：C．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 是两个不重合的平面， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理判断，即可判断.
【详解】显然 A 正确；
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由面面垂直的性质定理可知，只有当 时，才能推出 ，B 错误；
当 时，与 矛盾，C 错误；
借助直二面角的定义及法向量的定义可知 成立，即 D 正确.
故选：AD.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 在 上的值域为
C. 若 在 上单调递减，则
D. 若 ，则 在定义域上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】求得 的定义域判断选项 A；求得 在 上的值域判断选项 B；求得 a 的取值范围判
断选项 C；求得 时 的单调性判断选项 D.
【详解】选项 A：由 得 ，则 的定义域为 .判断正确；
选项 B： ，
由 ，可得 ，则 ，
当 时， ，则 在 上的值域为 ；
当 时， ， ，
即 在 上的值域为 ；
当 时， ， ，
即 在 上的值域为 .
综上，当 时， 在 上的值域为 ；
当 时， 在 上的值域为 ；
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当 时， 在 上的值域为 .判断错误；
选项 C： ，
若 在 上单调递减，则 ，解之得 .判断正确；
选项 D： ，
则 时， 在 和 上单调递增.判断错误.
故选：AC
11. 若正实数 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，可以用中间值求出 和 的范围，验证选项 A 不正确，再通过指数对数
互化， ， ，结合换底公式，得到 ， ，再考虑 与 的范围可以
验证 BCD 选项正确.
【详解】由 可得 ，由 可得 ，则 ，可知选项
A 错误；
由指对数互化可得 ， ，则 ，即 可知选项 B 正确；
又 ， 由 ， 可 知 等 号 不 成 立 ， 即
，可知选项 C 正确；
由 得 ，
令 ，由 ， ，则 在 上单调递增，故 ，选项 D 正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线互相垂直，则
________．
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【答案】
【解析】
【分析】先利用导数的几何意义求出曲线 在点 处的切线斜率，进而可对函数 求
导，然后根据条件列方程求 .
【详解】由曲线 得 ， ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
曲线 得 ，
由已知可得 ，
解得 .
故答案为： .
13. 已知数列 的通项公式为 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】作差判断数列 的单调性，根据单调性代入去绝对值化简计算可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以数列 有最小值 ，
则
.
故答案为：
14. 已知三棱锥 满足 ，且 ，则该三棱
锥外接球的表面积为________，异面直线 与 所成夹角的余弦值为________．
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【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空 1：把三棱锥的外接球转化成长方体的外接球求解；空 2：构造两条异面直线的所成角，利用余
弦定理求夹角的余弦.
【详解】由题意可知 都是直角三角形，可补形为长方体如下图所示：
则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，故球心为体对角线 的中点，且 ，
即外接球半径 ，故该外接球的表面积 ；
补形如图，
作 ，故 与 所成夹角即为 或 的补角，
在 中，易求 ，
则 ．
故答案 ： ；
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设 的内角 所对边的长分别为 ，且 ．
（1）求 的大小；
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（2）若 ， ， 为 的中点，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式求出 ，即可得解；
（2）利用余弦定理求出 ，即可得到 ，再由勾股定理计算可得.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由余弦定理 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
在 中， ．
16. 如图，三棱台 ， ， ，平面 平面 ，
， ， 与 相交于点 ， ，且 ∥平面 .
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（1）求三棱锥 的体积；
（2）平面 与平面 所成角为 ， 与平面 所成角为 ，求证： .
【答案】（1）2 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥 的体积；
（2）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出所成角为 与 的正余弦值，即可证明结论.
【小问 1 详解】
由题意，
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， ， 平面 ABC
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ABC
∴ 平面 ，
连接 ，
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ .
∴三棱锥 底面 的面积 ，高 ，
∴其体积为： .
【小问 2 详解】
证明：由题意及（1）得，
以 为坐标原点，分别以 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图.
则 .
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，则 ，
平面 的一个法向量为 ，
所以
又因为 ，所以
又 ，所以 .
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17. 京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人. 年 月 日，京东配送机
器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人
所具备的高负荷､全天候工作､智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市
区 年 到 月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示：
年 月 月 月 月 月
时间代码
配送比率
（1）如果用回归方程 进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程；
， ， .
参考公式：若 ，则
（2）已知某收件人一天内收到 件快递，其中京东快递 件，菜鸟包裹 件，邮政快递 件，现从这些快
递中任取 件， 表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量 的分布列以及随机变量 的数学
期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析；数学期望
【解析】
【分析】（1）令 ，利用最小二乘法即可求得 ，从而得到回归方程；
（2）首先确定 可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根
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据数学期望公式直接计算可得期望.
【小问 1 详解】
由题意得： ；
设 ，则 ， ， ，
， ，
回归方程为： .
【小问 2 详解】
由题意知： 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
数学期望 .
18. 已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点相同，曲线 的
离心率为 为 上一点且 .
（1）求曲线 和曲线 的标准方程；
（2）过 的直线交曲线 于 两点，若线段 的中点为 ，且 ，求四边形 面积
的最大值.
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【答案】（1） ，
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解 ，进而可根据 的关系求解，
（2）联立直线与抛物线 方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为
，结合对勾函数的性质即可求解最值.
【小问 1 详解】
椭圆 ，
又 ,
椭圆 ,
抛物线
【小问 2 详解】
因为直线 斜率不为 0，设为 ，
设 ，联立
整理得 ，.
所以 ，
所以 ，
，
设四边形 的面积为 ，
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则 ，
令 ，再令 ，
则 在 单调递增，
所以 时， ，
此时 取得最小值 4，所以 .
【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范
围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意
向量的应用，如本题中根据向量的共线得到面积的关系，对于简化计算起到了重要的作用
19. 已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且关于 的不等式 在 上恒成立，其中 是自然对数的底数，
求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）对函数求导，分 和 两种情况分别得出函数的单调性；
（2） 在 上恒成立，可得 ，即 在 上
恒成立，令 ，求导研究函数的单调性与极值 ，利用导函数为零得出
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，代入不等式 ，并构造出 ，利用导数得出 的范围，
进而求出实数 的取值范围．
【详解】（1）根据题意可知 的定义域为 ，
，令 ，得 ．
当 时， 时， ， 时 ；
当 时， 时， ， 时 ．
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）依题意， ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ．
对于 ， ，故其必有两个零点，且两个零点的积为 ，
则两个零点一正一负，设其正零点为 ，
则 ，即 ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ．
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
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则 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，故 ，
显然函数 在 上是关于 的单调递增函数，
则 ，
所以实数 的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调性和极值以及最值，导数在恒成立问题中的应用，解
决本题的关键点是利用导函数为零得出参数与极值点的关系，进而通过构造函数并求导得出函数的值域，
进而得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力与计算能力，属于中档题．
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