湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 含解析

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 分值：150 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 的值（ ）
A. 小于 0 B. 大于 0 C. 等于 0 D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】判断弧度 2，3 表示的角的范围，判断 的正负，即可得答案.
【详解】 ， ， ．
故选：A
2. 如下图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则异面直线 与
所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角.
【详解】
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以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 棱长 2，则 ， ， ，
， ， ，
设异面直线 与 所成 角为 , ，
则 ,所以 .
故选：C
3. 设复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称,所以 ,所以 ,故选
B.
4. 设向量 满足 ， ，则 =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【详解】因为 ， ，两式
相加得： ，所以 ，故选 A.
考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解
答好本类题目的关键．
5. 已知 、 是球 的球面上的两点， ，点 为该球面上的动点，若三棱锥 体积
的最大值为 ，则球 的表面积为
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】
当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，利用三棱锥 体积的最大
值为 ，求出半径，即可求出球 的表面积．
【详解】如图所示，当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，
设球 的半径为 ，此时 ， .
因此，球 的表面积为 .
故选：A.
【点睛】本题考查球的半径与表面积的计算，确定点 的位置是关键，考查分析问题和解决问题的能力，
属于中等题.
6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】转化条件得 ，再利用 即可得解.
【详解】由 可得 ，
， ，
.
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故选:D.
【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，属于基础题.
7. 设 A，B，C，D 是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若 ，
则 是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】变形得到 ，求出 ，得到 等腰三角形.
【详解】 ，
即 ， ， ，
所以 ， 为等腰三角形.
故选：D
8. 如图所示，在四边形 中， ， ， ，将四边形 沿对
角线 BD 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 与平面 所成的角为
D. 四面体 的体积为
【答案】B
【解析】
【分析】对于 A，若 ，根据线面垂直的判定定理得 ，得出矛盾可判断 A；根据线
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面垂直的判定定理、性质定理可判断 B；由 平面 得 就是 与平面 所成的角，
求出可判断 C；求出四面体 的体积可判断 D.
【详解】对于 A，因为 ， ，所以 ，
若 ，因为 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平
面 ，
可得 ，这与 矛盾，故 A 错误；
对于 B，因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
得 ，又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C， 平面 ，所以 就是 与平面 所成的角，
因为 ，所以 与平面 所成的角为 ，故 C 错误；
对于 D，四面体 的体积为 ，故 D 错误.
故选：B.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知复数 z 满足 ，则（ ）
A. 复数 z 虚部的最大值为 2
B. 复数 z 实部的取值范围是
C. 的最小值为 1
D. 复数 z 在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
【答案】ABC
【解析】
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【分析】根据题意得复数 在复平面内对应点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，再依次讨论求
解即可.
【详解】解：满足 的复数 在复平面内对应点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，如
图，
由图可知，虚部最大的复数 ，即复数 z 虚部的最大值为 2．A 正确；
实部最小的复数 ，实部最大的复数 ，所以实部的取值范围是 ，B 正确；
表示复数 在复平面内对应点到 的距离，所以 的最小值为 ，C 正确；
由图可知，复数 在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故 D 错误．
故选：ABC
10. 下列四个选项中，化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用拆角与和角公式即可判断 A 项；逆用两角差的余弦公式即可判断 B,C 两项；运用诱导公式五
先转化部分三角函数式，再逆用公式即可判断 D 项.
【详解】对于 A 项,
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，故 A 项错误；
对于 B 项， ，故 B 项正确；
对于 C 项， ，
故 C 项正确；
对于 D 项， ，故 D 项正确.
故选：BCD.
11. 已知 ， 为异面直线，直线 与 ， 都垂直，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 平面 ，则 ，
B. 存在平面 ，使得 ， ，
C. 有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ，
D. 至多有一对互相垂直的平面 和 ，其中 ，
【答案】BC
【解析】
【分析】由线面关系判断 ABD；由线面垂直判定判断 C；
【详解】对于 A，如下图所示，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，平面 为平面 ，则
， ，故 A 错误；
对于 B，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，平面 为平面 ，此时 ， ，
，故 B 正确；
对于 C，由线面垂直的判定可知， ， ，过直线 且与 垂直的平面只有一个，过直线 且与 垂
直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ， ，故 C 正确；
对于 D，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，此时平面 平面 ，平面
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平面 ，即至少存在两对互相垂直的平面 和 ，其中 ， ，故 D 错误；
故选：BC
三、填空题：（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 如果用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高.
【详解】半径为 的半圆弧长为 ，
圆锥的底面圆的周长为 ，
圆锥 底面半径为： ，所以圆锥的高： ，
故答案为：3.
13. 已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最大值是________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】法一，由由 ，得 ，借助于几何作图，作 ，确定点 P 的轨迹，结合圆的几何
性质，即可求得答案;
法二，由题意建立平面直角坐标系，设 ，根据条件确定确定点 C 在以(1,1)为圆心，1 为半
径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.
【详解】法一 由 ，得 .
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如图所示，分别作 ,作 ，
由于 是单位向量,则四边形 OACB 是边长为 1 的正方形，所以 ,
作 ，则 ,
所以点 P 在以 C 为圆心，1 为半径的圆上.
由图可知，当点 O，C，P 三点共线且点 P 在点 P1 处时，| |取得最大值 ,
故| |的最大值是 ,
故答案为：
法二 由 ，得 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
设 ，由 ，
得 ，
所以点 C 在以(1,1)为圆心，1 为半径的圆上.
所以
故答案为：
14. 已知 ，则 _________．
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【答案】
【解析】
【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解.
【详解】原式 ．
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 函数 （ ）的最大值为 3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为
，
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，则 ，求 的值
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为 A+1=3,∴A=2，
周期 ，
∴f（x）=2sin（2x- ）+1
（2） ，f（ ）=2
∴2sin（ - ）+1=2,得 sin（ - ）= ， =
16. 在四面体 ABCD 中，CB=CD， ，且 E，F 分别是 AB，BD 的中点，
求证：（I）直线 ；
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（II） ．
【答案】（I）证明见解析．
（II）证明见解析．
【解析】
【详解】证明：（I）E，F 分别为 AB，BD 的中点
．
（II） ，又 ，
所以 ．
17. 在 中， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由 、 及 ，利用正弦定理即可求出 的值；（2）由余弦定理表示出
，把 、 及 的值代入求出 的值，由 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本
关系求出 的值，从而利用二倍角的正弦、余弦函数公式分别求出 和 的值，把所求式子
利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将 和 的值代入即可求出值.
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【详解】（1）在 中，根据正弦定理， ，于是 .
（2）在 中，根据余弦定理，得
于是 ，
从而 ， .
所以 .
18. 半径为 1 的圆 内接 ，且 ．
（1）求数量积 ， ， ；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ， ， ．
（2）
【解析】
【分析】（1）将 变形为 ，两边平方即可求得 的值，同理
可求 ， 的值；
（2）利用向量的数量积或夹角公式求出 的夹角或余弦值进而可得正弦值，结合三角形面积公
式，即可求得答案.
【小问 1 详解】
， ，
则 ，即得 ，
所以 ，同理 ， ．
【小问 2 详解】
由 ， ，
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由 ， ，得 ，
则 ，
同理 ， ，
则 ，
所以 ．
19. 如图所示，在直角梯形 ABCD 中， ， ， ， ， ，边 AD 上
一点 满足 ．现将 沿 BE 折起到 的位置，使平面 平面 BCDE，如图所示．
（1）求证： ；
（2）求四棱锥 的体积；
（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形 ABCE 为菱形，从而线线垂直，得到 平面 ．故
；
（2）由面面垂直得到线面垂直，求出 ，利用锥体体积公式进行求解；
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（3）作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直， 即为平面 与平面 所成锐二面角的
平面角，求出各边长，得到 ，求出答案.
【小问 1 详解】
证明：在平面图形中，连接 CE，由勾股定理得 ，
因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 ABCE 为菱形，
在图中，连接 AC 交 BE 于点 ，则 ，
在立体图形中， ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ．
又 平面 ，
；
【小问 2 详解】
在平面图形中，由勾股定理得 ，
由（1）知，四边形 ABCE 为菱形，结合题设易得 ，故 ，
平面 平面 BCDE，且平面 平面 ， 平面 ， ．
平面 BCDE，
其中梯形 的面积为 ，
；
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【小问 3 详解】
在立体图形中延长 BE，CD，设 ，连接 ．
平面 ， 平面 ．
又 平面 ， 平面 ．
是平面 与平面 的交线，
平面 平面 BCDE， ，平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
， ，
作 ，垂足为 ，连接 CH，
又 ， 平面 ，
平面 OCH，又 平面 OCH，
．
即为平面 与平面 所成锐二面角的平面角．
由勾股定理得 ， ，
故 ， 为等边三角形，
在 Rt 中， ， ，
所以 ，又 ，故 ，
由勾股定理得 ，
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所以 ，
又 ，在 中， ，
．
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 ．
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