2025年上海市普陀区高三二模数学试卷和答案

这是一份2025年上海市普陀区高三二模数学试卷和答案，共10页。
考生注意:
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．不等式的解集是________.
2. 已知复数，其中为虚数单位，则 .
3. 已知事件与事件相互独立，若，，则________.
4. 设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 _ .
5. 设，抛物线上的点到的焦点的距离为，点到轴的距离为，则的值为_______.
6. 设，若的展开式中项的系数为，则________.
7. 在一个不透明的盒中装着标有数字的大小与质地都相同的小球各个，现从该盒中一次取出个球，设事件为“取出个球的数字之和大于”，事件为“取出的个球中最小数字是”，则________.
8. 若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为________.
9. 设，，，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是________.
10. 设，，为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 _______.
11. 在棱长为的正方体中，，若一动点满足,则三棱锥体积的最大值为________.
12. 设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.
13. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前位的同学才能进入决赛. 若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这位同学的预赛积分的 …………………………………………（ ）
平均数 众数 中位数 方差
14. 设，在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于 ……………………………………（ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
15. 设，，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是 …………………………………………（ ）

16. 设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：
= 1 \* GB3 ①若，则数列不是数列的“数列”； = 2 \* GB3 ②若，则数列的“数列”至少有个.
则下列结论中正确的是 ………………………………（ ）
①为真②为真 ①为真②为假 ①为假②为真 ①为假②为假
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在三棱柱中，，，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设，函数的表达式为.
（1）若，设的内角，，的对边分别为，，，，且，求的面积.
（2）对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态题库，且，，三层题量之比为，设该题库中任意道题被选到的可能性都相同.
（1）现有人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这人中至少有人的选题来自层的概率；
（2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取道题生成试卷，若某老师要从生成的这份道题的试卷中随机选取道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设，， 点、分别是椭圆：的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于、两点，是坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知，，对于函数，，设集合，
，记.
（1）若函数，请判断中元素的个数，并说明理由；
（2）设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程；
（3）设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围.
普陀区2024学年第二学期高三数学质量调研评分标准（参考）
一、填空题
二、选择题

三、解答题
17.（1）连接，与交于点，连接，
由条件得，四边形是菱形，则，
又，，则平面，
又平面，则， ………4分
又，且是中点，则，
则平面，
又平面，则平面平面. ………6分
（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，………4分
设平面的法向量为，由，解得，………6分
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为. ………8分
18.（1）由且，得
或， ………2分
当时，与矛盾，不符合条件；
当时，则，即. ………4分
则. ………6分
（2）由条件得，，，且，
则，即， ………4分
当时，则， ………6分
若，即时，函数是严格减函数；
若，即时，函数是严格增函数，
则函数的单调增区间是，单调减区间是. ………8分
19.（1）设事件为“随机选取一题为B层题”，
则, ………2分
设事件为“至少有2人选题来自B层”，
则； ………6分
（2）12道题中有7题A层，3题B层，2题C层，
则,,
,,………4分
则的分布为，………6分
则期望为.………8分
20.（1）由直线经过点,得
点，又，则， ………2分
即，
则所求的椭圆的方程为. ………4分
（2）设，，，
由得，，………2分
则，，
又，则，
又的面积为，
则， ………4分
即，即或，
则所求的点的坐标为或. ………6分
（3）由点在直线上，向量在直线上的投影为向量，得
，且点的坐标为， ………2分
又，，
则，，，
因为，，所以在和中分别有
，，
则，
化简整理得，， ………4分
由（2）中得，，，
则， ………6分
令，则，
设函数，则，因为，所以，
则，即函数在区间上是严格增函数，
则，即，
则. ………8分
21. 解：（1）设点是函数图像上的一点，点，
则，
且等号当且仅当时，即时成立， ………3分
即，，或，，
则中仅有两个元素. …………4分
（2）设点是函数图像上的一点，点，
则， ………2分
又，且，则当时，取得最小值，
要使得，则，
即，，， …………4分
则曲线在点处的切线斜率为，
则所求的切线方程为. ……………6分
（3）要使得对于任意的，皆有成立，
则函数图像上的点到轴的距离都大于，
设（），则， ………1分
令，则，
则函数在区间上是严格增函数，
又，，
则必存在，使得，即， ………3分
则当时，，即，
当时，，即，
则函数在区间上严格减，在区间上严格增，
则函数在区间上的最小值为，
且时，，
因此，要使得函数图像上的点到轴的距离都大于，
则只需， ……………5分
又，则，
即，
令，又函数在上是严格增函数，
则，即，
则，
即，则满足条件的的取值范围为. ………8分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
等
不唯一
13
14
15
16