内蒙古通辽市科左中旗2025年九年级中考二模数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古通辽市科左中旗2025年九年级中考二模数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
其中液化温度最低的气体是（ ）
A. 氦气B. 氢气C. 氮气D. 氧气
【答案】A
【解析】，液化温度最低的气体是氦气．故选A．
2. 在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，扇形的圆心角为：，故选：D．
3. 河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】堤高，迎水坡的坡比为，
，，故选：D．
4. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ）
A. B. C. D. 6m
【答案】B
【解析】，
由题意得：，，，，，
．
故选B．
5. 深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设进书城人次的年平均增长率为，根据题意得：，
故选：C．
6. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形
B. 反比例函数的图象是轴对称图形
C. 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，且
D. 对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】A．顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形，该命题正确，故该选项不符合题意；
B．反比例函数的图象是轴对称图形，该命题正确，故该选项不符合题意；
C．线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，则，，该命题错误，故该选项符合题意；
D．对于任意的实数b，方程的，故方程有两个不相等的实数根，该命题正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
7. 如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图过点作于点，过点C作于点，
当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
由题意得，，，，
在中，由勾股定理得，，
，．
故选：A．
8. 如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设直线与轴的交点为点，则，
轴，点是线段的中点，且，，
点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，
，，，面积为，
则当面积取得最小值时，应最小，
由圆的性质可知，当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，
，∴，
又，，，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 已知，，则______．
【答案】
【解析】．
故答案为．
10. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是____平方步．
【答案】
【解析】由题意得：（平方步）；
故答案为．
11. 一元二次方程的两个根分别为．若，则___________．
【答案】
【解析】根据题意得，∴，
所以．
故答案为．
12. 如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则______°．
【答案】
【解析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
点分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，，
，，
∴，∴，
，
故答案为：．
13. 如图，在菱形中，，对角线交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，若是直角三角形，则的长为______．
【答案】或
【解析】在菱形中，，
，，，
，是等边三角形，，
，
，，，
，
，，
将线段绕点逆时针旋转到，，
，，，
，
，是定值，
若是直角三角形，分两种情况：
当时，，
则，；
当时，，
则，；
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14. 【阅读理解】已知，求的值．
解：由已知可得，则，
．①
，②
．
（1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
解：（1）第②步运用了完全平方公式，
故答案为：B
（2）由已知可得，则，∴，即，
∵，∴.
15. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：
A：，B：，C：，D：），
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______．
（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
解：（1）根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数．
根据众数的定义可得，，．
（2）甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）列表如下：
两人都选择同款聊天机器人的概率．
16. 如图，四边形中，为对角线，，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）证明：∵，且，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示：菱形即为所求．
理由：∵是的垂直平分线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
17. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
解：（1）根据题意可得，该函数经过点，
设y与x的函数关系式为，
将代入得：，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
18. 如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，点在线段上，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，由切线的性质得到，
由等腰三角形的性质得，
根据得，即，，
，，
由等腰三角形角平分线性质得；
（2）解：，，，
，
设，，，，
，
，
，，，
．
19. 【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
解：（1）设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案：①，②，③；
（2）抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
20. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
（1）①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（AB的中点除外）．
（2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
解：（1）①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图，
设，则，
∴
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵点F是中边上的“比中项妙点”，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．气体
氦气（He）
氢气（H）
氮气（N）
氧气（O）
液化温度（℃）
设备
平均数
中位数
众数
甲
86
85.5
b
乙
86
a
87
小红
小明
甲
乙
丙
甲
甲、甲
甲、乙
甲、丙
乙
乙、甲
乙、乙
乙、丙
丙
丙、甲
丙、乙
丙、丙
素材1
图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2
为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3
为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
解：设，步，
，
，
______①，
又，
，
，
，
______②，
______③．