四川省宜宾市2023_2024学年高二数学上学期期末模拟考试试题含解析

这是一份四川省宜宾市2023_2024学年高二数学上学期期末模拟考试试题含解析，共20页。试卷主要包含了 已知是虚数单位，复数，则， 椭圆的焦点坐标为，40B， 已知抛物线C， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
1. 已知是虚数单位，复数，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法运算、共轭复数等知识求得正确答案.
【详解】由于，所以.
故选：B
2. 椭圆的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定焦点所在的位置，再求出即可得解.
【详解】椭圆的焦点在轴上，
，所以，
所以椭圆的焦点坐标为.
故选：D.
3. 已知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（）
A. 0.40B. 0.45C. 0.50D. 0.05
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件同时发生概率公式即可求解.
【详解】若两人都没有投进，概率，
若两人都投进，概率，
则得分相等的概率.
故答案为：C.
4. 已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方程求出点坐标，再由抛物线方程求出坐标，利用三角形面积求解即可.
【详解】如图，
直线l：中，令，可得，令，可得，
所以，，
由抛物线C：可得，
所以，所以，
解得.
故选：A
5. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（）
A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得.
【详解】由圆面积被直线平分，
得圆的圆心在直线上，即，解得，
因此圆的圆心，半径，
而圆的圆心，半径，
显然，所以圆与圆外切.
故选：D
6. 已知等比数列的前项和为，且满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，进而求得.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，则，所以，
所以，，
所以，所以.
故选：B
7. 在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用切线长相等，结合双曲线的定义求解．
【详解】如图，设切线的切点分别为，则，，，
，
所以点轨迹是以为焦点双曲线的右支（除去与轴交点），
，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
故选：A．
8. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案.
【详解】依题意，（），，
当时，
，
，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A
【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线在轴上的截距为2
B. 过点且与直线垂直的直线方程是
C. 两条平行直线与之间的距离为
D. 经过点且在两坐标轴上截距相等直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】结合各个选项所给条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为，令，得到，所以直线在轴上的截距为，故选项A错误，
对于选项B，因为直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程是，即，故选项B正确，
对于选项C，由得到，所以两平行线间的距离，故选项C正确，
对于选项D，当两坐标轴上截距均为时，直线方程为，所以选项D错误，
故选：BC.
10. 数列的前n项和为Sn，，则有（）
A. B. 为等比数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.
【详解】由题得，
两式相减得，即，
当时，，
所以数列从第项起是等比数列，所以，
所以数列的通项为.
当时，；当时，符合上式，
所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
11. 设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（）
A. 若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B. 若，则的面积为
C. 若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D. 若恒成立，则C的离心率的范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】A. 设，，所以该选项错误；
B. 求出的面积为所以该选项正确；
C. 求出，所以该选项错误；
D. 若恒成立，所以，所以该选项正确.
【详解】解：A. 设，所以，因为，
所以.所以，所以该选项错误；
B. 若，则所以则的面积为所以该选项正确；
C. 若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误；
D. 若恒成立，所以，所以，所以该选项正确.
故选：BD
12. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（）
A. 正三棱台的高为
B. 点P的轨迹长度为
C. 高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内
D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得，可知点的轨迹为等边的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：利用等体积法求正四面体的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，即可得结果.
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于选项A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；
对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，
即，解得，
且等边的内切圆半径，
可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，
所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；
对于选项D：设正四面体的内切球半径，
由等体积法可得：，解得.
因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.
又因为，，，
则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：将三棱台补成三棱锥，结合题意分析可知三棱锥为正四面体，结合正四面体的性质分析判断.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设直线的倾斜角为．
由直线化为，故，
又，故，故答案为．
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．
14. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】，，
所以向量在上的投影向量的坐标是：
.
故答案为：
15. 在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果．
【详解】由整理得，即，又，
故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得,
不等式，可化为，
令，当时，；
当时，，，
故当时，单调递减，故，
综上，，
所以，故最小值为．
故答案为：
16. 把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为_________（），的周长的取值范围是_______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由椭圆的焦点坐标以及，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点的直线与曲圆可得，，在直线转动的过程中由，的位置可得三角形的周长的取值范围．
【详解】解：由，令，可得以及，
再由椭圆的方程及题意可得，，，
由，可得，
由可得，
所以，
所以半椭圆及圆弧的方程分别为，，
所以，
可得相当于椭圆的左焦点，
的周长为，
当从（不包括向运动时，，
当在轴右侧时，，所以这时三角形的周长为8，
当从向运动时，在第四象限，则，，
这时三角形的周长小于8，
当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近，
由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样，
综上所述，的周长的取值范围为，．
故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设正项数列的前项和为，，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和，求的值.
【答案】（1）
（2）99
【解析】
【分析】（1）由等式，得到，证明了数列是等比数列，求出公比，写出数列的通项公式即可；
（2）首先将数列的通项公式代入，求出数列的通项公式，裂项相消法求其前项和即可.
【小问1详解】
由，
得，，则，
故正项数列为等比数列，
由于，，则，
则或（舍去）
故公比，
所以；
【小问2详解】
由（1）得：，
所以，
又，得，解得.
18. 已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
【答案】（1）
（2）选择见解析，或
【解析】
【分析】（1）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.
（2）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.
【小问1详解】
设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
【小问2详解】
如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
19. 第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
【答案】（1）平均年龄岁，第75百分位数为52.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，可求得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.
（2）根据分层抽样，可得医疗组抽取2人，设为a，b，服务组抽取3人，设为A、B、C，列出综合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.
【小问1详解】
由题意得，解得，
所以100名志愿者的平均年龄为岁，
因为，
，
所以第75百分位数位于[50,60）内，设第75百分位数为x，
则，解得，
所以第75百分位数52.5
【小问2详解】
医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取5-2=3人，设为A、B、C，
5人中选取3人组成综合组，情况可能为
，共10种，
至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，
所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率
20. 已知双曲线的渐近线方程为，经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得，求的值及点的坐标.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，代入点即可得解；
（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算即可求出点C的坐标及.
【小问1详解】
因为双曲线的渐近线方程为，
所以可设双曲线的方程为，
代入可得，，解得，
所以双曲线方程为，
即双曲线的方程为：.
【小问2详解】
设，，，
因为，则，，
由直线与双曲线方程联立可得，，
消元可得：，，
，，
，
，解得，，
，.
21. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围.
【小问1详解】
在梯形中，因为，，
所以，所以，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则．
，．
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，
是平面的一个法向量
，
，当时，有最小值，
当时，有最大值．
．
22. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解，
（2）根据相切可得，进而联立直线与椭圆方程，可得韦达定理，进而根据弦长公式以及三角形面积，结合不等式的性质即可求解.
【小问1详解】
由题意可得
，
所以，，
，，椭圆的方程为.
【小问2详解】
若圆的切线轴，则,所以,
故，因此，,
当直线有斜率时，设直线的方程为，
直线与圆相切，，，
联立与，消得.
设，，则，.
到直线的距离为1，则
，
将代入消可得，
令则故，
由于所以，进而，
所以，
综上可得
的最大值为.