四川省2023_2024学年高二数学下学期期末模拟试题二含解析

这是一份四川省2023_2024学年高二数学下学期期末模拟试题二含解析，共14页。试卷主要包含了设集合，，设是可导函数，且，则，下列命题不正确的是，长时间玩手机可能影响视力，下列命题正确的是，下列结论中正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.设集合，
A. 8B. 16C. 32D. 4
【答案】A
【解析】因为，由，，，
法一：其子集有共8个。
故选：A
法二：（速解）集合有3个元素，故其子集个数为个.
故选：A.
2.设是可导函数，且，则（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】,
故选：B
3.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】从A到B电路不能正常工作的概率为
，
所以从A到B电路能正常工作的概率为.故选：A.
4.已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是( )
A.-1 B.1 C.64 D.
【解析】的展开式第3项为，
则由已知可得，解得，令，得，所有项的系数和为，故选B。
5.下列命题不正确的是（ ）
A.正十二边形的对角线的条数是54；
B.身高各不相同的六位同学，三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法；
C.有5个元素的集合的子集共有32个；
D. 6名同学被邀请参加晚会，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，共有32种去法.
【答案】D
【解析】对A：任意两点连线的条数，再排除边数，故正十二边形的对角线的条数是.故A正确；
对B：6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，故B正确；
对C：这个集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5个元素，所以这个集合的子集共有个，故C正确；
对D：.当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，则有种去法；
当甲和乙两位同学都不去，则有种去法；
根据分类计数原理得：共有种去法。故D不正确
6.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】令“玩手机时间超过1h的学生”，
“玩手机时间不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，
解得，故选B.
7.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：那么下列说法中正确的是（ ）

第行的第个位置的数是B．杨辉三角前10项的所有数之和为1024
C．70在杨辉三角中共出现了4次D．210在杨辉三角中共出现了6次
【答案】D
【详解】对于A选项：第行的第个位置的数是，故A错误；
对于B选项：，B不正确；
由于，不妨设，令，
当时，，，
当时，，无正整数解，
当时，，当时，当时，，而递增，从而无解；
当时，，当时，
由于是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，所以当时，共出现3次，C不正确；
类似于前，
以为顶点的下方三角形区域中的数都大于,D正确.
故选：BCD
8.已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】，的导函数为.
若，，在上单调递增，因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意.
若，当时，，在上单调递增，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
若，当时，，当时，，因为，所以，不符合题意.
若，当时，，，易得在递增，在上单调递减，不符合题意.
综上，的取值范围是.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是（ ）
A.已知，那么6. B.在的展开式中，各项系数的和是-1;
C:能被8整除． D.的展开式中的系数为30．
对A：因为，所以，即，即，解得或（舍去）,故A正确;
对B:令，则，
即二项式的展开式中各项系数的和是.故B不正确;
对C：
能被8整除.所以能被8整除.故C正确;
对D：
设其展开式的通项公式为，令，
得的的通项公式为，
再，得，的展开式中，的系数为．
即的展开式中，的系数为30．故D正确。
10.下列结论中正确的有（ ）
A．数据的方差是0.1，则有数据的方差为9.
B．若随机变量服从正态分布，，则
C．若相关指数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好
D．若随机事件满足，，，则
【答案】BD
【解析】对于A，（速解）由已知得，，则对于，可得，，A错误；
对选项B，若，则，
所以，B正确.
对选项C，的值越接近1，表示回归模型的拟合效果越好，故C错误.
对选项D，，所以，
所以，所以，故D正确.选BD．
11.设函数,则( )
A．是的极小值点B．当时,
C．当时,D．当时,
【答案】AC
【解析】；[类比+特殊]
,,或,画出示意图如图,可知A正确；当时,,,B错误；当时,
时,,C正确；当时,,此时 两者大小不确定,故D错误.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含的项的系数是________
【答案】
【解析】因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是的系数是，
，
13.购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为；一年度内盈利的期望为万元.（参考数据：）
【答案】 0.63 150
【解析】每份保单不需要赔付的概率是，则10万分保单不需要赔付的概率；需赔付的概率是
设10万份保单中需赔付的件数，设为，则，则需赔付的保险金为，则，
则一年内的盈利的期望是（元）=150（万元）
故答案为：；
14.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，函数有3个零点，转化为方程有3个实数根，即与有3个交点，表示斜率的直线，如图，当直线过原点时，两个函数有3个交点，此时，当直线与相切时，设切点，解得：，，
如图，满足条件的的取值范围是
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.
（1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否由此推断游客的选择与所在的小组有关？
（2）在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为X，求及X的数学期望.
参考公式：，
【解析】（1）2×2列联表如下.
零假设游客的选择与所在的小组无关，
，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为游客的选择与所在的小组有关，此推断犯错误的概率不大于.
（2）在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，
所以乙社区游客去青城山旅游的概率为，所以，
则，.
16.（15分）已知函数（为实数，且），在区间上最大值为，最小值为.
（1）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；
（2）过点作函数图象的切线，求切线方程.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】（1），，，；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递增，，
，，，，解得：，；
，；
在上为减函数，在上恒成立，，
又当时，，，即实数的取值范围为.
（2）由（1）得：，
设切点为，则切线斜率，
切线方程为：，
又切线过点，，解得：或；
当时，切线方程为：，即；
当时，切线方程为：，即.
17.（15分）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
（参考数据：
，
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.
【答案】（1）分布列见解析， （2）
【解析】（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则的所有可能取值为，
，，
，，
故的分布列为
.
（2）设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为
，，
，
故
，
，所以.
18.（17分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
【解析】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
于是由全概率公式，
得.
（2）由已知得，，
，
.
（3）由（2）可得，即，
可猜想：,
证明如下：由条件概率及，
得，，
所以.
19.（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位）
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由泰勒公式知，①
于是有；
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.去峨眉山旅游
去青城山旅游
合计
东小组
西小组
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
去峨眉山旅游
去青城山旅游
合计
东小组
40
20
60
西小组
25
35
60
合计
65
55
120
时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
0
1
2
3