2024-2025学年山东省潍坊第一中学高一下学期第二次质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省潍坊第一中学高一下学期第二次质量检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cs26π3的值为( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
2.已知向量a=(m,4)，b=(1,m)，若a与b反向共线，则a−2b的值为( )
A. 0B. 13C. 4 5D. 5 6
3.已知点P(m,−1)在角α的终边上，若csα=−3 1010，则( )
A. m=3B. α为第二象限的角C. sinα= 1010D. tanα=13
4.在▵ABC中，G为▵ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC=3AM，则( )
A. GM=13AB+112ACB. GM=13AB−712AC
C. GM=−13AB+712ACD. GM=−13AB−112AC
5.函数y=x2csx−1，x∈−π3,π3的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称．现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48 cm，内环的弧长为16 cm，油布径长(外环半径与内环半径之差)为24 cm，则该扇子的油布面积大约为( )(油布与扇子骨架皱折部分忽略不计)
A. 1024 cm2B. 768 cm2C. 640 cm2D. 512 cm2
7.已知函数f(x)=sinx+sin|x|，则( )
A. f(x)是周期函数B. f(x)在区间π2,3π2单调递减
C. f(x)的图象关于直线x=π2对称D. f(x)的图象关于点π,0对称
8.如图所示的矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以B为圆心的圆与AC相切，P为圆上一点，且∠ABP=2π3，若AP=λAB+μAD，则λμ的值为( )
A. 11 325B. 325C. 13 325D. 13 35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的有( )
A. a=b的充要条件是a=b且a//b B. 若a//b，b//c，则a//c
C. 若a//b，则存在实数λ，使得a=λb D. a−b≤a+b≤a+b
10.以下各式化简结果正确的是( )
A. sinθ−csθtanθ−1=csθ B. 1−2sin20°cs20°=cs20°−sin20°
C. sin(−36°)+cs54°=0 D. sinπ2−θcsπ2+θ=sinθcsθ
11.如图所示为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00).当λ+μ=3时，c= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a，b是不共线的两个非零向量，
(1)若OA=2a−b，OB=3a+b，OC=a−3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(θ)=cs13π2−θsinθ−5π2+sinπ−θ+csπ2+θ5csπ+θtanπ+θ．
(1)化简f(θ)；
(2)若f(θ)=sinθ，求tanθ+sinθcsθ的值．
17.(本小题15分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|0)个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y=g(x)的图象，若y=g(x)的图象关于直线x=5π24对称，求当m取得最小值时，函数y=g(x)的单调递增区间．
18.(本小题17分)
如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记AB=a,AD=b．
(1)试用基底{a,b}表示AC,EF；
(2)记▵ABC的面积为S1，▵CEG的面积为S2，求S1S2的值．
19.(本小题17分)
北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=25 3米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．

(1)设∠BOE=α，试将▵OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
(备用公式：sinα+csα= 2sinα+π4，sin7π12= 6+ 24)
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.A
6.B
7.B
8.C
9.ABC
10.ABC
11.AC
12.115或2.2
13.−1
14.3 3
15.解：(1)∵AB=(3a+b)−(2a−b)=a+2b，
BC=(a−3b)−(3a+b)=−2a−4b=−2AB，
∴AB与BC共线，且有公共点B．
∴A，B，C三点共线．
(2)∵8a+kb与ka+2b共线，
∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b).
∴(8−λk)a+(k−2λ)b=0．
∵a与b不共线，
∴8−λk=0,k−2λ=0则8=2λ2⇒λ=±2．
∴k=2λ=±4．
16.解：(1)f(θ)=cs13π2−θsinθ−5π2+sinπ−θ+csπ2+θ5csπ+θtanπ+θ
=cs6π+π2−θsinθ−π2−2π+sinπ−θ+csπ2+θ5−csθtanθ
=csπ2−θsinθ−π2+sinθ−sinθ−5sinθ
=sinθ−csθ−5sinθ=15csθ
(2)由(1)知f(θ)=15csθ=sinθ，
则tanθ=sinθcsθ=15，
则sinθcsθ=sinθcsθsin2θ+cs2θ=tanθtan2θ+1=526，
故tanθ+sinθcsθ=15+526=51130．

17.解：(1)根据表中已知数据，得A=2,T=4×5π6−7π12=π，
可得ω=2，当x=7π12时，2×7π12+φ=π，解得φ=−π6，
所以f(x)=2sin2x−π6.数据补全如下表：
(2)将f(x)图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位长度，
得到y=2sin2x+2m−π6的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，
得到y=g(x)的图象，所以g(x)=2sin4x+2m−π6
因为y=g(x)的图象关于直线x=5π24对称，
所以4×5π24+2m−π6=kπ+π2,k∈Z，解得m=kπ2−π12,k∈Z，
因为m>0，所以mmin=5π12，此时g(x)=2sin4x+2π3，
由2kπ−π2≤4x+2π3≤2kπ+π2,k∈Z，可得kπ2−7π24≤x≤kπ2−π24,k∈Z，
所以函数y=g(x)的单调递增区间为kπ2−7π24,kπ2−π24,k∈Z．

18.解：(1)由图可知AC=AD+DC，
因为，所以AC=AD+12AB=12a+b．
因为DE=12EC,BF=23BC，所以EF=EC+CF=23DC+13CB
=13AB+13(AB−AC)=23AB−13AC=23AB−13AD+12AB=12AB−13AD=12a−13b.
(2)由AC与EF交于点G，可设AG=λAC,EG=μEF．
EG=AG−AE=λAC−(AD+DE)=λ12a+b−b+16a=3λ−16a+(λ−1)b，
μEF=μ2a−μ3b，
则3λ−16=μ2,λ−1=−μ3,解得λ=56,μ=12.
设▵ABC边AB上的高为ℎ1，▵CEG边CE上的高为ℎ2，则ℎ1ℎ2=11−λ=6，
则S1S2=12AB⋅ℎ112CE⋅ℎ2=18．

19.解：(1)在Rt▵BOE中，由∠BOE=α，可得OE=25csα，
在Rt▵AOF中，由∠AFO=α，可得OF=25sinα，
又在Rt▵EOF中，由勾股定理得
EF= OE2+OF2= (25csα)2+(25sinα)2=25sinαcsα，
所以l=25csα+25sinα+25sinαcsα=25(1+sinα+csα)sinαcsα，
当点F在点D时，此时α的值最小，α=π6，
当点E在点C时，此时α的值最大，α=π3，
故函数的定义域为π6,π3；
(2)根据题意，要使费用最低，只需OE+OF最小即可，
由(1)得OE+OF=25(sinα+csα)sinαcsα,α∈π6,π3，
设sinα+csα=t，则sinα⋅csα=t2−12，
则OE+OF=25(sinα+csα)sinαcsα=25tt2−12=50tt2−1=50t−1t，
由5π12≤α+π4≤7π12，得 3+12≤t≤ 2，
令f(t)=t−1t，易知f(t)=t−1t在(0,+∞)上为增函数，
所以当t= 2时，OE+OF最小，且最小值为50 2，此时α=π4，
所以当BE=AF=25米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 2元.
x
7π12
5π6
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
Asin(ωx+φ)
0
2
−2
0
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
Asin(ωx+φ)
0
2
0
−2
0