2025中考数学二轮复习-二次函数的图象与性质-专项训练【含答案】

这是一份2025中考数学二轮复习-二次函数的图象与性质-专项训练【含答案】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．将抛物线化为顶点式为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图是抛物线的部分图象，且与轴的一个交点为，则它与轴另一交点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线D．有最大值，为－3
5．若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．表格列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，其中，a的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．已知抛物线上有点，当时，则P点纵坐标b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知抛物线，经推断知其顶点不会出现在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为B．当时，随的增大而减小
C．开口方向向上D．函数最小值是
12．已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（ ）
A．1B．1或C．2或D．
13．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③的值为；④图象不经过第三象限．
上述结论中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．②③④
14．已知抛物线经过点和点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15．二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
16．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图像上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如下表所示：
则该二次函数的对称轴是直线 ．
18．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是
19．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是 ．
20．已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ．
三、解答题
21．当自变量时，二次函数有最小值，且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．求：
(1)这个二次函数的表达式；
(2)这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标．
22．已知一个二次函数的图像经过，，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围．
23．已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；
(2)当时，求y的最大值与最小值之差；
(3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
24．已知二次函数．
(1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象；
(3)根据图象回答下列问题：
①当时，x的取值范围为 ；
②当时，y的取值范围为： ；
③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ；
25．在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)，是抛物线上不重合的两点，当时，，求该抛物线的解析式．
(2)是抛物线上一点，且．
①若，当时，求n的最小值．
②当时，n的最小值是5，求m的值．
26．已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点．
(1)求，两点坐标；
(2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
27．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
(1)填空： ___________， ___________， ___________；
(2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值；
(3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
x
0
y
4
0
0
a
…
0
1
…
…
2
2
…
x
0
1
4
y
x
0
1
2
3
y
0
参考答案
1．B
【分析】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方，利用配方法，即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，先由抛物线解析式得对称轴为直线，再根据抛物线的对称性解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】解：由题意可得：，
即：，
与是一次函数关系，与是二次函数关系，
故选：D．
4．D
【分析】首先根据二次函数的定义得到解方程求出m的值，根据二次项系数的正负判断开口方向，根据二次函数表达式即可得出顶点坐标和对称轴以及最大值．
【详解】解：∵二次函数，
∴，解得：，
∴，
∴二次函数，
∵，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线，
∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，二次函数的图像和性质．
5．C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，把函数解析式化为顶点式，求出对称轴和开口方向，进而得到离对称轴越远，函数值越小，再求出各点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，离对称轴越远，函数值越小，
∵、、为二次函数的图像上的三点，，
∴．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4．
【详解】解：∵时，；时，，
∴该二次函数的对称轴为直线，
∴当时，y的值和当时，y的值相等．
∵当时，，
∴当时，，
∴a的值为4．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是得到抛物线的顶点式及熟练掌握y与x的变化关系．根据抛物线解析式得到顶点坐标，结合函数性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴其顶点坐标为．
∵，且，
∴抛物线开口向下，
∴．
故选C．
8．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握顶点坐标与解析式的关系是解题关键．根据三种情况分析，结合顶点坐标求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
当时，则，，抛物线的顶点坐标在第二象限；
当时，则，，抛物线的顶点坐标在第三象限；
当时，则，，抛物线的顶点坐标在第四象限；
顶点不会出现在第一象限，
故选：A．
9．A
【分析】根据抛物线解析式求得对称轴为直线，开口向下，根据点到对称轴的远近进行判断即可求解．
本题考查二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，而点B在对称轴上，点C离对称轴最远，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，把点代入求得解析式为，再令，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：把点代入得：，
∴，
∴抛物线解析式为：，
令，，
解得：，，
∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，，
故选：B．
11．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值为，当时，随的增大而增大；
综上：只有选项B说法错误，符合题意；
故选B．
12．D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键．
根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解．
【详解】解：已知二次函数中，，
∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，
∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，
∴对称轴在轴左边，即，
∴，
如图所示，
∴当时，，
∴当时，函数的最小值为，
解得，，
又∵，
∴，
∴，
故选：D ．
13．B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【详解】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线，故②正确，
抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①错误，
当时，或，故m的值为，故③正确，
当时，，在第三象限，故④错误．
故选：B．
14．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可决定的最小值．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点和点，
∴点和点关于对称轴对称，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴时，有最小值，
∴，
故选： C．
15．A
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确分情况讨论．
首先求出对称轴为直线，然后根据题意分和两种情况讨论，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数的图象经过，，
∴对称轴为直线
①当时，抛物线开口向上
∴当时，y随x的增大而增大
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴离对称轴的距离比近
∴
∴，故A正确，B错误；
②当时，抛物线开口向下
∴当时，y随x的增大而减小
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴离对称轴的距离比近
∴
∴，故C，D均错误．
故选：A．
16．D
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键．
【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∵点、的坐标分别是、，
∴，
解得：，
∴，
∵点在抛物线的图像上，
∴，
∴，
故选：D．
17．2
【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．根据表格可得当时的函数值与当时的函数值相等，由此即可得．
【详解】解：由表格可知，当时的函数值与当时的函数值相等，
则该二次函数的对称轴是直线，
故答案为：2．
18．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质进行求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵当和时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴由表格可知：该抛物线的顶点坐标是，
由表格可知抛物线与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
当时，总有，
∴，
故答案为：，．
19．##
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答是解题关键．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
当，随的增大而增大，
∵关于直线的对称点是，
又∵，
∴，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点和点，
∴点和点关于对称轴对称，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴时，t有最小值为：．
故答案为：．
21．(1)
(2)7
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）由自变量时，二次函数有最小值，可得顶点坐标，设二次函数顶点式解析式，再将代入，求出a的值，进而得到这个二次函数的表达式；
（2）由抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点的坐标为，根据二次函数的对称性即可求出这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标．
【详解】（1）解：∵当自变量时，二次函数有最小值，
∴函数图象的顶点坐标为，
∴可设二次函数的表达式为，
∴图象与x轴交于点，
将代入，得，解得，
∴这个二次函数的表达式为．
（2）∵，
∴函数图象的对称轴为直线．
又∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标为1，
∴抛物线与x轴另一个交点的横坐标为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合
自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可；
本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
根据题意得，解得：，
∴．
（2）解：∵，
∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
∴当时，y取最小值，
当时，；当时，，
∴当时，n的取值范围是．
23．(1)顶点坐标，对称轴是直线，与x轴的交点坐标是，
(2)9
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）将解析式化为顶点式，即可得解；
（2）根据二次函数的性质可得当时，y取得最小值，当时，y取得最大值，即可得解；
（3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点坐标，对称轴是直线，
由，得，解得：，
故与x轴的交点坐标是，；
（2）解：∵对称轴是直线，图象开口向上，
∴当时，当时，y取得最小值，此时；
当时，y取得最大值，此时；
∵，
∴当时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）解：∵，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
24．(1)对称轴为直线，顶点坐标为；
(2)表格见解析，图象见解析，
(3)①或；②；③
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值：
（1）配成顶点式，即可求解；
（2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可；
（3）①②根据函数图象求解即可；③根据题意可得在对称轴左边，y随x的增大而减小，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
顶点坐标为；
（2）解：在中，当时，，
当时， ，
列表如下：
函数图象如下所示：
；
（3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或，
故答案为：或；
②由函数图象可知，当时，y的取值范围为，
故答案为：；
③∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴左边，y随x的增大而减小，
∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小，
∴，
故答案为：．
25．(1)
(2)①；②
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）根据抛物线的对称性求出m的值即可；
（2）①先求出抛物线解析式，根据二次函数的性质即可解答；②先求出n关于的二次函数解析式，在求出对称轴，根据二次函数的性质，结合题意分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵，是抛物线上不重合的两点，当时，，，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①当时，则抛物线的解析式为：，
∵是抛物线上一点，且，
∴，即，
∴，
∵，
∴时，n随x的增大而减小，
∴时，n有最小值，最小值为；
②根据题意：，
即，
∴的对称轴为，
∵，
∴抛物线的图象开口向上，且时，n随的增大而减小，时，n随的增大而增大，时，n有最小值，
∵时，n的最小值是5，
∴，解得：；
当时，则，与题意矛盾，舍去；
当时，则，
此时，，
当时，函数有最小值，
∴，
解得：或（舍去）；
当时，则，
此时，，
当时，函数有最小值，
∴，
解得：（舍去）；
综上，m的值为2．
26．(1)；
(2)的最大值为
(3)存在，点的横坐标为，或
【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键．
（1）解方程得到，，即可得到答案；
（2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为；
（3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：令，代入得：，
解得，，
∴；
（2）设直线的表达式为，把、代入得：
，解得，
∴直线的表达式为，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴当时，的最大值为．
（3）①当为平行四边形的边时，．
∴，关于直线对称
∵
点的横坐标为或．
②当为平行四边形的对角线时，设点，则点，
∵点在抛物线上
∴
解得，
∵点在第三象限
∴点在第一象限
∴点的横坐标为
综上所述：点的横坐标为，或．
27．(1)
(2)
(3)存在，或或或或或或或或或或
【分析】（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值；
（2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入
得，，
解得，
∴抛物线的解析式：，
令，
则，
解得或1，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图1，连接，
∵轴交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
，
解得或4，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的值为；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，
如图2，过作轴，过作于，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点的横坐标为2，
∴，
解得或或，
∴点的坐标为或(或或；
②当为直角顶点时，，
如图3-1，过作轴，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或，
∴点的坐标为或，；
如图3-2，
同理，
∴，
∵，点Q的横坐标为2，
∴，
∴，解得或，
∴点P的坐标为或；
③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
或或
，
∴，解得或5或3或（舍去）或4（舍去），
∴点的坐标为或或；
综上所述，点的坐标是或或或或或或或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
x
0
1
2
3
y
0