福建省厦门双十中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级 数学试卷（含解析）

这是一份福建省厦门双十中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级 数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，10C．2，2，3D．4，5，6
3．下列式子计算结果是的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（ ）
A．AE的长B．MN的长C．AB的长D．AC的长
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．平行四边形对角线互相平分
7．若是整数，则正整数的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
8．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ）

A．米B．米C．2米D．米
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
10．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．计算： .
12．比较大小：5 ．（填“”“”“”）
13．在平行四边形中，，则的度数为 ．
14．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，若，，则的周长为 ．
15．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为 ．
16．如图，在中，，于点E，于点F，、交于点H，、的延长线交于G，给出下列结论：
①；②点D是中点：③；④若平分，则；
其中一定正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共9小题）
17．计算：
(1)；
(2).
18．如图，在中，点，分别在，上，且，求证：．
19．已知，．
(1)直接写出_____，_____；
(2)试求的值．
20．如图，在四边形中，，求四边形的面积．
21．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长．

22．观察下列各等式：
①；②；③；……
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)_____；_____；
(2)若满足上述规律的等式为：，试求的值．
23．如图所示，在平面直角坐标系中，点，，交轴于点点在轴的正半轴上，且，连接，．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，当为等腰三角形时，求的值．
24．【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．
如图（2），和的面积相等，求证：．
证明：分别过点、点作和底边上的高线，．
【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：
25．已知.
(1)如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____；
(2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接.
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系.
参考答案
1．【答案】C
【分析】概念：式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：依题意，得
，
解得，．
故选C．
2．【答案】B
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选B．
3．【答案】D
【分析】根据二次根式的加法、乘法、减法逐一计算即可．
【详解】解：A、不等于，故本选项错误，不符合题意；
B、不等于，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选D．
4．【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故选B．
5．【答案】A
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴AE的长为平行线AD与BC之间的距离．
故选A．
6．【答案】D
【分析】先写出各选项的逆命题，再判断真假即可求解．
【详解】解：A. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
B. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
C. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
D. 平行四边形对角线互相平分，逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意．
故选D
7．【答案】B
【分析】由，是整数，可求正整数的最小值．
【详解】解：∵，是整数，
∴正整数的最小值为7，
故选B．
8．【答案】A
【分析】如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，则四边形是矩形，

∴，，
∴，
由勾股定理得，，
故选A．
9．【答案】A
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝
＝
＝4，
故选A．
10．【答案】C
【分析】设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解．
【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示：
在中，，
∴为等腰直角三角形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
当P与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选C．
11．【答案】7
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求解．
【详解】解：
12．【答案】
【分析】根据得到，进而根据不等式的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴
13．【答案】
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
14．【答案】15
【分析】根据三角形中位线定理得出 ， ， ，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，D，E，F分别是，，的中点，
∴ ， ， ，
∵，，
，
即的周长为15．
15．【答案】4
【分析】根据题意可得图2中阴影小正方形的边长为，再由图2中阴影小正方形的面积为49即可求出答案．
【详解】解：由题意得，图2中阴影小正方形的边长为，
∵图2中阴影小正方形的面积为49，
∴图2中阴影小正方形的边长为7，
∴，
∴
16．【答案】①③④
【分析】①由证明即可；③先证明，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④连接，证是等腰直角三角形，，设，得出，进而得出．②无法证明点D是中点．
【详解】解：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故①正确；
在和中，
，
，
，
，
正确；
连接，如图：
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，
，
，
，
④正确
∵是平行四边形，
∴，
∴，，
又，
∴三个角对应相等无法证明全等，
∴无法证明，
即无法证明点D是中点，
故②错误，
综上①③④正确
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，再合并同类二次根式即可；
（2）直接化简二次根式，再去括号合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算可以得出的值，根据平方差公式，求出的值即可；
（2）将变形为，然后代入（1）中得出的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；；
（2）解：∵，，
∴
．
20．【答案】
【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接，
在中，
∴，
在△ACD中，，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积
．
故四边形的面积为．
21．【答案】
【分析】设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即．
22．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用题中等式的计算规律得出结果，将变形为，再根据等式的计算规律即可解答；
（2）根据等式的计算规律得到，得到，再利用完全平方公式变形即可解答．
【详解】（1）解：根据题意；
；
（2）解：根据等式的计算规律得：，
，
，
，
，
．
23．【答案】(1)见解析
(2)或2或
【分析】（1）根据，得到，结合，推出，得到，然后问题可求证；
（2）根据题意可分①当时，②当时，③当时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由题意可分：
①当时，过点B作轴于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴；
②当时，
在中，由勾股定理得；
③当时，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得：；
综上所述：当为等腰三角形时，或2或．
24．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）分别过点、点作和底边上的高线，，利用三角形的面积公式与已知条件得到，则，再利用平行四边形的判定与性质解答即可；
（2）利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等的性质解答即可；
（3）连接，，过点作于点，过点作于点，利用等底同高的三角形的面积相等的性质得到，由（1）的证明过程可知：；利用等底同高的三角形面积相等的性质得到，则，化简即可得出结论．
【详解】证明：分别过点、点作和底边上的高线，，如图，
的面积，的面积，和的面积相等，
，
．
，，
∴，
四边形为平行四边形，
∴；
（2）1．连接，
2．过点作，交的延长线于点，
3．连接，
则为所画的三角形．如图，
理由：∵，
与为同底等高的三角形，
，，
．
四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变；
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：中，点为的中点，点为的中点．
求证：，．
证明：连接，，过点作于点，过点作于点，如图，
点为的中点，
，
与为等底同高的三角形，
．
点为的中点，
，
与为等底同高的三角形，
，
．
由（1）的证明过程可知：，．
点为的中点，
，
与为等底同高的三角形，
，
，
．
，
，
．
25．【答案】(1)
(2)①作图见解析；②；理由见解析
(3)
【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；
（2）①依照题意补全图形即可；
②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明；
（3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题．
【详解】（1）解：解：作于点I，
由题意得，是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
∴此时的面积为，
故答案为：；
（2）解：①补全图形如图，
②；理由如下，
延长交的延长线于点H，延长交于点J，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
连接，作并交的延长线于点K，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即是直角三角形，
∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．