福建省三明市第八中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份福建省三明市第八中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1. 下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是不等式．
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
2. 不等式的非负整数解的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式的问题，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
先去括号，再移项和合并同类项，即可求出不等式的解集，再求出非负整数解即可．
【详解】解：
∴
∴不等式的非负整数解有0，1，2，共3个
故答案为：C．
3. 解不等式，下列去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式两边同时乘上6，得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴不等式两边同时乘上6，得，
故选：D．
4. 如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A. m＞8B. m≥8C. m＜8D. m≤8
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式取解集方法，大大小小无解，可知m和8之间的大小关系，求出m的范围即可．
【详解】解：因为不等式组无解，
即x＜8与x＞m无公共解集，
∴m≥8．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
5. 在平面直角坐标系内，点P（，）在第四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：点P（，）在第四象限，根据第四象限点的坐标特征，
则
解得：
故选C．
6. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则△PMN的周长是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】作PD⊥MN于D，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质可得OD的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出MD，即可得出PM的长．
【详解】解：如图，过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，∠AOB=60º，OP＝8，
∴OD＝OP=×8=4，
∴，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝×2=1，
∴，
∴△PMN的周长=7+7+2=16
故选C．
【点睛】本题主要考查了含30º角的直角三角形性质、等腰三角形的“三线合一”性质，勾股定理，解题的关键是过点P作PD⊥OB．
7. 到三角形各边的距离相等的点是三角形（ ）
A. 三边中垂线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条高的中点D. 三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，
故选：D．
8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（ ）
A. 三个内角都大于B. 三个内角都小于
C. 三个内角都不大于D. 三个内角至多有两个大于
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反证法．反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立．
“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于”．
【详解】∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”，其结论为“至少有一个角不大于”，意思是三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于的，
∴它的否定就是三角形的三个内角都大于．
∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于”．
故选：A．
9. 如图，在中，为边上的点，满足，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等边对等角是解答此题的关键．
先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，，再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵
∴，，
∴
∵
∴
∴．
故选：C．
10. 如图所示，函数和的图像相交于，两点，当时，的取值范围是（ ）
A B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝−x又相交于（−1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2结合图像的位置关系，即可求出x的取值范围．
【详解】解：∵当x≥0时，y1＝x；当x＜0时，y1＝−x， 两直线的交点为（2，2），（−1，1），
∴由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜−1或x＞2．
故选C．
【点睛】此题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当y1＞y2时x的取值范围等价于y1所对应的图像在y2所对应的图像上方部分图像上点的横坐标的范围．
二、填空题：（每小题4分，共24分）
11. x的2倍与3的差不大于5，用不等式表示为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式成为解题的关键．
根据x的3倍与2的差不大于5列出不等式即可．
【详解】解：x的2倍为，则x的2倍与3的差为，所以x的2倍与3的差不大于5可表示为．
故答案为：．
12. 如图，，，的垂直平分线交于点，则的度数为_________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质及三角形的内角和定理．熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的关键，根据线段垂直平分线性质可得，证，可得结论．
【详解】解：∵垂直平分
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
故答案为：
13. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．
【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形
【解析】
【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可．
【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。
14. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法和解一元一次不等式．根据题意得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：，
①+②得，
则，
∵
∴，
解得．
故答案为：
15. 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（，k，b为常数），当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．根据题意可得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，那么的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接，根据勾股定理得出，根据垂直平分线的性质可得，，进而得出，进而得出，再根据勾股定理得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
在中，
，
是的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，
即，
，
在中，
，
，
故答案为：．
三、解答题：（共86分）
17. 解不等式
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
（1）先移项，把的系数化为即可求解；
（2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把的系数化为即可求解；
【小问1详解】
解：
移项得：
系数化为1得：
【小问2详解】
解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为得：
18. 解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
（1）先求出两个不等式的解集，再求其公共解集即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解集即可．
【小问1详解】
解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
所以不等式组的解集为．
【小问2详解】
由不等式①得，
由不等式②得，
所以不等式组的解集为．
19. 如图，是 的边的中点，，垂足分别为E、F，且，求证：

【答案】详情见详解；
【解析】
【分析】首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题；
【详解】证明：如图
∵是 的边的中点，，
∴、 均为直角三角形
在中
【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．
20. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°.
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）作图见试题解析；（2）CM=2BM．证明见试题解析．
【解析】
【分析】（1）尺规作图，要按照规范画图进行，要显示作图痕迹．
（2）明确△ABC各内角的度数，根据垂直平分线的性质，连接AM，把原三角形分成两个特殊三角形进行分析，得出结论．
【详解】（1）作图如下：
（2）CM=2BM
证明：连接AM，则BM=AM
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°
∴AM=CM，故BM=CM，
即CM=2BM．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握尺规作图中线段垂直平分线的作法，含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半.
21. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1），理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意知，，则，由是的垂直平分线，可得，由，可得，则，然后作答即可；
（2）如图，连接，设，则，由，可得，，由勾股定理得，，，则，计算求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下；
由题意知，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
22. 三明市某化工厂，现有种原料千克，种原料千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品共件，已知每生产件甲种产品需要种原料千克以及种原料千克；每生产件乙种产品需要种原料千克以及种原料千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式（组）的应用、一元一次不等式的整数解正确列出不等式组是解题关键；
根据题意，列出不等式组，求解分析即可．
【详解】解：设甲的生产件数为件，则乙的生产件数为件，
，
解得：，
为整数，
可以取的值为：，，，
有三种方案，
方案：甲产品件，乙产品件，
方案：甲产品件，乙产品件，
方案：甲产品件，乙产品件；
23. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：∵
∴可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
（1）一元二次不等式的解集为 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式．
【答案】（1）或；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过分析获得解决此类问题的方法．
（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴可化为
，
由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
① ，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得；
∴的解集为或；
【小问2详解】
解：∵，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
∴①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得；
∴的解集为或；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得不等式组无解；
∴的解集为；
24. 把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为．
（1）求证：．
（2）如图3，若点在线段上，且，，求的长．
（3）当旋转角 时，的面积最大．
【答案】（1）证明见解析
（2）5 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握旋转的性质是解题关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，求得即可证明；
（2）过点作于，由可得，由等腰三角形三线合一的性质可得，由求得，再由勾股定理求得即可解答；
（3）根据点轨迹可得当时，面积最大，由旋转的性质求得即可．
【小问1详解】
证明：，都是等腰直角三角形，
，，，
则，
，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作于，
由（1）证明同理可得，
，
是等腰直角三角形，，
是斜边中线，
，
在中，，，
，
在中，，
，
；
【小问3详解】
解：点轨迹在以为圆心，为半径的圆上，
长度为定值，
的长度为定值，
底边上的高，
当时，面积最大，即点在直线上，
如图当时，，面积最大，
如图，当时，，面积最大，
当为或时，面积最大；
故答案为：或．