2025年高考数学压轴题训练(新高考版)专题10一元函数的导数及其应用专题特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学压轴题训练(新高考版)专题10一元函数的导数及其应用专题特训(学生版+解析)，共36页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、图象识别题 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函数切线条数问题 PAGEREF _Tc30144 \h 3
\l "_Tc28706" 三、不等式整数解问题 PAGEREF _Tc28706 \h 4
\l "_Tc8395" 四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 PAGEREF _Tc8395 \h 5
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc16467 \h 7
一、图象识别题
1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
二、函数切线条数问题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A．B．C．D．或
3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
三、不等式整数解问题
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·河南郑州·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题
1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．
2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
(1)已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
3．（2024·北京房山·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和
(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.
(2)若函数和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
五、不等式恒成立问题
1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值.
专题10 一元函数的导数及其应用
（利用导数研究函数图象及性质）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、图象识别题 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函数切线条数问题 PAGEREF _Tc30144 \h 5
\l "_Tc28706" 三、不等式整数解问题 PAGEREF _Tc28706 \h 9
\l "_Tc8395" 四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 PAGEREF _Tc8395 \h 13
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc16467 \h 24
一、图象识别题
1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】，
因为当时，都为增函数，
所以，单调递增，故B，C错误；
又因为，
所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.
【详解】对于B，当时，，易知，，
则，不满足图象，故B错误；
对于C，，定义域为，
又，则的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项A，满足图中性质，故A正确.
故选：A.
3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求解.
【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，
对于A，，为偶函数，
但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，
对于C，，为奇函数，故C不符合，
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【优尖升-分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.
【详解】由题意得，即，得，且，
所以的定义域为；
又，所以为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又，所以排除D．
故选：A．
5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】由奇偶函数的定义可判断A，C；由特值法可判断B，D.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
又，，
所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C．
因为，排除选项B.
（另解：当时，，所以，排除选项B）．
故选：D．
二、函数切线条数问题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【优尖升-分析】设出切点，求导，得到切线方程，将代入切线方程，得到，故有三个实数根，令，求导，得到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设切点为，则，
，故，且切线方程为，
因为在切线上，故，
整理得，
因为过点可作曲线三条切线，
故有三个实数根，
设，则，
由得，或，
因为，由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
故要有三个实数根的充要条件为，
即，解得.
故选：D
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 已知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【优尖升-分析】设切点为，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得有3个解，构造函数，求导分析单调性与极值可得的取值范围.
【详解】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解.
化简有，即有3个解.
设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又，，且，，故要有3个解，则.
故选：A
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
【详解】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，
因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，，
故选：C.
三、不等式整数解问题
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】根据绝对值的应用寻找方程成立的条件，再利用数形结合求解参数即可.
【详解】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，
则必有且同时成立，即图象夹在和之间，
易知，函数的图象大致如图，
结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为，
所以，且，
解得，
故选：B
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值.
【详解】函数的图像如下：

不等式恰有两个整数解，
①当时，，即，
当时，，
由于恰有两个整数解，又，
则整数解为和，又，
因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为，
②当时，对于，
则，
只考虑，
则
又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去，
综上，实数的最小值是.
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】第一步：将不等式进行合理变形，关于x的不等式恰有一个整数解．
第二步：构造函数，研究新函数的性质，作出函数的图象，根据图象求解；
【详解】设，，则，
当时，，
当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当时，，当x趋近于时，趋近于0，，
直线过点，在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示．
由图象知，要使关于x的不等式恰有一个整数解，则
，解得，
故选：D．
4．（23-24高二下·河南郑州·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】数形结合可知，进而可得个整数解分别为，，，，所以，即可解得的取值范围.
【详解】
函数与的图像如图所示，
可知当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，
当，两函数的图像无交点，不等式无整数解，
当时，两函数的图像有个交点，不等式无整数解，
当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，
所以，则，
所以不等式的个整数解分别为，，，，
，解得，
解得，
故选：C.
5．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为偶函数满足，则，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，令，可得.
由可得，由可得.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为关于的不等式在上有且只有个整数解，
则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：

因为，且，
又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，
则这五个整数解分别为、、、、，
所以，，即，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.
四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题
1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【优尖升-分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a，注意分类讨论.
（2）根据（1）可得，，结合大致图象分两种情况进行分析探究即可.
【详解】（1）因为，所以．
若，则，此时无最小值，故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）由（1）知，，故，，
且在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，在上为增函数，且，
所以直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：
第一种情况，如图：

设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．
由图可知且．
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
第二种情况，如图：

设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．
由图可知，，且，，
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
综上所述，若直线与和的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间的等量关系为：.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
(1)已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
【答案】(1)① ；②
(2)
【优尖升-分析】（1）首先求得，，①代入得，结合曲率公式即可求解；②首先得曲率表达式，进一步通过换元法，构造函数求导即可得解；
（2）通过计算得，从而在两个不同的点处曲率为0，等价于有两个大于0的实数解，进一步证明在上单调递增，从而原问题等价于有两个实数解，利用导数研究函数零点即可求解．
【详解】（1），，，
①由题意，，
②由定义知为非负数，由题意得
，，
∴，令，
∴，令，
则在上恒成立，
在上单调递增，即，
，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为．
（2），
，
，
因为在两个不同的点处曲率为0，
有两个大于0的实数解，
有两个大于0的实数解．
令，
在上单调递增，且值域为，
有两个大于0的实数解有两个实数解．
令，则，
令得，时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
，
又时，；时，；
图象如下图所示：
有两个实数解，．
所以的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：解决（2）的关键是通过同构将原问题转换为有两个实数解，由此即可顺利得解.
3．（2024·北京房山·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；
（3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）当时，，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），则，
则，
当时，，此时函数无极值；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数的定义域为，
所以此时函数无极值.
综上所述，当时，函数无极大值；
当时，的极大值为；
（3）令，则，
当时，，
所以时，函数无零点；
当时，由，得，所以，
则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
如图，作出函数的大致图象，

又，由图可知，所以函数的图象只有个交点，
即当时，函数只有个零点；
综上所述，若，函数有个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和
(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.
(2)若函数和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
【答案】(1)
(2)1
(3)存在
【优尖升-分析】
（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可；
（2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值；
（3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列.
【详解】（1）
恒成立，
因为，
所以，
则的取值范围为；
（2）
定义域为，
，，
若，则，单调递增，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又，仅有此一解，
；
（3）
（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为，
所以当时，恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点,，即，
因为，所以，即，
令得，
解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标.
5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间是；单调递减区间是
(2)
【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程有三个不等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，利用导数判断函数的性质，作出函数图像，数形结合，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，解得，所以函数的单调递增区间是；
令，解得，所以函数的单调递减区间是
（2）由题意可得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得．
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，
设，则，
当时，在上单调递增；
在和上，在和上单调递减，
，；
当或时，，时，，
当时，；当时，，
画出的图象如图，
要使函数的图像有三个交点，需，
即，即实数的取值范围.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于根据过点可以作曲线的3条切线，求解参数的范围，解答时要利用导数的几何意义求出切线方程，即要使得方程有三个不等实数根，构造函数，转化为函数的图像的交点问题，利用导数判断函数性质，数形结合，即可求解.
五、不等式恒成立问题
1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.
【详解】令，即，
当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，
则当时，，即，不满足题意；
当时，令，则，
令，则，因为单调递增，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，有最小值，
又对恒成立，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立.
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，即，当且仅当，时等号成立，
所以的取值范围为.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【优尖升-分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
则，所以，
若，
如图作出函数的图象，

由函数图象可知，方程有唯一实数根，
即，
由，得，
即，
当时，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即当时，不恒成立，
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
【答案】
【优尖升-分析】
首先画出函数的图象，再利用数形结合，通过直线与的图象相切时的临界值，即可求解的取值范围.
【详解】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，
，两边平方后得，
所以的图象是以为圆心，半径为1，并且在轴的下半部分的半圆，
，，得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
当时，函数取得最小值，
如图，画出函数的图象：
直线恒过定点，当直线与相切时，
设切点，
，可得，由，解得：，
则切线的斜率为2，
当直线与，相切时，直线与半圆相切，由，解得：，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确画出函数的图象，并会根据直线与曲线相切，求直线的斜率.
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(2)
【优尖升-分析】（1）代入，直接求导然后确定单调性；
（2）先令求出的范围，然后证明当时等号成立即可，构造函数，求导，确定单调性求最值即可.
【详解】（1）当时，，，
令，得，令，得，
故的递增区间为，递减区间为；
（2）由，且恒成立，则，即，
结合目标式，令，则有（必要性探路），
下面验证等号成立条件，由，令，其图象如下，
要使上述不等式等号成立，只需在处的切线为的公切线，
而，则，结合，
所以时，等号成立；
下面证明当时不等式的等号成立.
令，，
令，
因为，且对称轴，
故时，，递增；时，，递减；
所以成立，故的最小值为.