02（江苏专用）-2025年高考数学模拟卷

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
3．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前5项的和为（ ）
A. B. C. 5D. 25
4．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
5．已知，则（ ）
A. B. C. D.
6．已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数，将图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8．在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，为方程的两根，则（ ）
A. B.
C. D.
10．下列说法正确的是（ ）
A. 设A，B为两个事件，且，，则
B. 若在一组数据2，3，3，4，6中增加一个数据4，则方差变小
C. 若变量x与变量y满足关系，变量y与变量z是正相关，则x与z负相关
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错的概率不大于0.05
11．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. 关于中心对称
C. 是周期函数D. 的解析式可能为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则的值为______________．
13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一个动点，且“”的最小值是，则双曲线的渐近线方程为______________．
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分） 数列中，，，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，且满足，，求．
16．（15分）单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：
其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：.
（1）根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）；
公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数
（2）已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.
参考数据：若近似服从正态分布，则.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，．
（1）当时，求证：平面；
（2）设二面角的大小为，求的取值范围．
18．（17分）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，，点A在第二象限，求直线的斜率；
（3）若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.
19．（17分）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
（2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；
（3）若，证明：穗粒数
穗数
4
10
56
22
8