江苏省南京市2023-2024学年七年级下学期期中热身练习数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市2023-2024学年七年级下学期期中热身练习数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.000000308cm.数据0.000000308用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据科学记数法：．
故选：C．
2. 如图，直线，直线分别与直线、交于点、，平分，交于点．若，则的度数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3. 若，，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 由的取值而定
【答案】A
【解析】∵，，
∴
．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过N点作，则，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A. 2048B. 1024C. 512D. 256
【答案】B
【解析】当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
……
由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，
故选：B．
二、填空题
7. 等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于_________．
【答案】15
【解析】若腰为3时，则，故不能构成三角形，
则腰只能6，则周长为：，
故答案为：15．
8. 如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若，到__°．
【答案】50
【解析】∵，
∴，
∵直线a与直线b平行，
∴，
∴，
故答案为：50．
．
9. 计算的结果中不含关于字母的一次项，则________．
【答案】
【解析】
=2x2+2ax-x-a
=2x2+（2a-1）x-a
由题意得2a-1=0则a=，
故答案为：
10. 如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 _________ ．
【答案】
【解析】由题意可得：这块草地的绿地面积为，
则“曲径”的面积为，
故答案为：．
11. 下列4种说法中正确的是____________．（请填写正确的说法序号）．
①一个三角形中至少有两个角为锐角；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③同旁内角互补；
④若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形
【答案】①②
【解析】①因为三角形的内角和是180°，所以三角形的所有内角中，至少有两个角是锐角，故原说法正确；
②三角形的高、中线、角平分线都是线段，故原说法正确；
③两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误；
④满足且的a、b、c三条线段一定能组成三角形，故原说法错误；
故答案为①②．
12. 某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了_____米．
【答案】8
【解析】机器人第一次回到原处，转了一周共360度，
360°÷45°＝8，即正好构成一个正八边形，
机器人走了8×1＝8米，
故答案为：8．
13. 若多项式是一个完全平方式，则m的值为___________．
【答案】
【解析】因为是完全平方公式，
所以，
所以．
故答案为：．
14. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．
【答案】15
【解析】∵甲看错了b，所以a正确，
∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
∵因为乙看错了a，所以b正确
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，
∴b＝9，
∴a+b＝6+9＝15．
15. 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．仿照该同学的计算方法，求得的值为_________．
【答案】2
【解析】原式=2(1-)(1+)…(1+)+，
=2(1-)+，
=2-+，
=2；
16. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则___________．

【答案】6
【解析】图中阴影部分的面积为，
如图所示：

，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：6．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：(1)

；
(2)
18. 分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
19. 先化简，在求值：，其中.
解：原式
，
当时，原式
．
20. 观察两个连续偶数的平方差：
①；②，③，……
（1）写出第n个等式，并进行证明；
（2）问172是否可以写成两个连续偶数的平方差？如果能，请写出这两个偶数；如果不能，请说明理由．
(1)解：第n个等式是：．证明如下：
∵，
∴．
(2)解：当时，
解得，
∴两个偶数分别为42，44．
21. 小华同学在学习整式乘法时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，于是如下计算题她是这样做的：
（1）小华在此题的计算中运用了哪些乘法公式，请用字母表示出__________________；
（2）小禹看到小华的做法后，对她说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好检查一下．”小华仔细检查后自己找到了如下一处错误：
小禹看到小华的改错后说：“你还有错没有改出来．”
小华还有哪些错误没有改出来？请你帮助小华把第一步中的其他错误圈画出来，再完成此题的正确解答过程．
解：（1） ，；
（2）如图：
．
22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．

（1）把进行平移，得到，已知点A与对应，请在网格中画出；
（2）线段与线段的位置关系是___________．
（3）请求出平移后得到的面积．
解：(1)如图，即为所求；

(2)由图可知：，
故答案为：；
(3)面积为．
23. 如图，三角形中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.

（1）求证：平分；
（2）若，，求的度数.
解：(1)∵，
，，
，
，
平分．
(2)，，
，
，
，
，
．
24. 阅读材料：若，求、的值．
解：，
，
且，
．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1），则______，______；
（2）已知，求的值；
（3）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．
(1)解：，，，，，，
故答案为：1，0；
(2)解：，，
即：，
则：，，
解得：，
；
(3)解：，，
，
则，，
解得：，，
，
即，且是正整数，，
即三角形三边分别为1，5，5，
的周长为．
25. 知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
直接应用：（1）若，，直接写出的值 ；
类比应用：（2）填空：①若，则 ；
②若，则 ；
知识迁移：（3）两块完全一样的直角三角形（）如图2所示放置，其中C，B，D在一直线上，连接，，若，，求四边形的面积S．

解：（1）∵，，
∴；
（2）①∵，
∴；
②∵，
∴，
∴
；
（3）设，，
则，，
由题意得，，
∴
∴
∴
．
26. 如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，．
（1） ____（填“”“ ”或“=”）．
（2）如图2，的平分线交直线于点O．
①当时，求α的度数．
②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）．
(1)解：如答图1，过点P作，交于点Q，
则
答图1
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：=.
(2)解：①∵，
∴
又∵的平分线交直线于点O．
∴
又∵，
∴.
又∵，
∴.
②当点N在点G的右侧时．
∵，
∴，
∴
又∵，
∴.
又∵平分，
∴
又∵，
∴；
当点N在点G的左侧时，如答图2.
答图2
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴
又∵平分，
∴，
∴.
综上所述，的度数为或.
第一步
第二步