浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期期中考试数学试题 含解析

这是一份浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期期中考试数学试题 含解析，共15页。试卷主要包含了4B， “”是“函数为增函数”的等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，，从而可得解．
【详解】因为1密位等于圆周角的，
所以角密位时，，
故选：C．
2. 直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出点、坐标，根据求出的值，即可得出抛物线的准线方程.
【详解】不妨设点在第一象限，则点在第四象限，
联立可得，则点、，
所以，，解得，因此，准线方程为.
故选：B.
3. 2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.
【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从五人中任选三人，有种方法；
第二步再选这三人所在的区域，有种方法；
第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.
由分步乘法计数原理，共有种方法.
故选:C.
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】D
【解析】
【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果.
【详解】由题知，曲线关于直线对称，又，所以，
由曲线的对称性可知，，
故选：D.
5. “”是“函数为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数单调递增，得到导函数大于等于0，从而求出，
由，但得到答案.
【详解】若函数单调递增，有恒成立，
可得，解得：，
因为，但，
所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.
【详解】令，由，得，
点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，
故选：D
7. 若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可.
【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，.
设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以.
故选：A
8. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ）
A. 4044B. 4045C. 4046D. 4047
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由递推关系结合等差数列通项公式与累加法可得数列通项公式，从而得到数列的通项公式，然后结合[x)的定义，即可得到结果．
【详解】因为，所以，又，
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以
所以
，
当时也符合上式，故，
则数列的通项公式，
则数列的前2022项之和为
．
故答案为：4045．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则下列表示方法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据集合与集合直接关系的符号表示，以及元素与集合之间的符号表示，即可判定出结果.
【详解】因为集合，
则，即A选项正确；集合中元素都是正整数，则，即C正确；
“”只能表示元素与集合之间关系，故B错；
“”只能表示集合之间的关系，故D错.
故选：AC.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若与都是单位向量，则
B. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C. 若与是平行向量，则
D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量相等的条件，可判断出选项A和C的正误，利用共线向量的定义可判断出选项B的正误，根据向量的几何表示，可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故选项A错误，
对于选项B，因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，所以选项B正确，
对于选项C，若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，所以选项C错误，
对于选项D，由向量的几何表示知，选项D正确，
故选：BD.
11. 已知函数，且，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合函数的单调性、极值及零点得存在性定理可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题意可得，解得，
所以，
令得或，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是极值点，故A正确；
因为，，
所以函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，
因为，则是奇函数，
所以是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，
当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，，（，且）．则函数是____________函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）．
【答案】奇
【解析】
【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性即可.
【详解】由题设，其定义域为，
由，
所以是奇函数.
故答案为：奇
13. 欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目设定的欧拉函数的概念，结合数列前n项和的概念以及不等式恒成立的转化方法即可求得参数的范围.
【详解】在的整数中与不互质的数有，共有个，所以与互质的数有个，因此．
在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以．
所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
则恒成立等价于恒成立，
即恒成立，所以，
令，则，
所以，且，
所以，
所以，即实数的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题按照题目设定的欧拉函数的概念，关键分析出：（1）在的整数中与不互质的数的个数，从而得到互质的个数；（2）在的整数中，与互质的数的个数分别是：2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以与（注意：2的倍数和5的倍数中包含了10的倍数）.
14. 若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】易得双曲线渐近线，再利用两直线垂直斜率之积为求出，结合离心率公式即可求解.
【详解】双曲线（）的渐近线方程为，直线斜率为，
由一条渐近线与直线垂直得，解得，
所以离心率为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极值-14.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最值.
【答案】（1）
（2）最小值为-14，最大值18
【解析】
【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程.
（2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值.
【小问1详解】
因，故
由于在处取得极值-14，故有，
化简得，解得，
经检验，时，符合题意，所以.
则，，故.
所以曲线在点处的切线方程为：，即
【小问2详解】
，，
解得或；解得，
即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
，
因此在的最小值为.最大值为
16. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，点P是正方形CC1D1D的中心．
（1）证明：AP∥平面EFG；
（2）若平面AD1E和平面EFG的交线为l，求二面角A﹣l﹣G．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据面面平行的判定定理，即可证明平面平面，由此即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量在求二面角中应用，即可求出结果.
【详解】（1）连接，，
点、、分别为的中点，
，
平面，
平面；
同理，平面，
又，且平面，平面，
所以，平面平面，
点是正方形的中心，
平面，平面；
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间指标系，则，
故，
设平面的法向量为，
由，可得，令，则，
取平面的法向量为 ，则，
所以二面角 的大小为.
【点睛】本题主要考查了面面平行的判定定理和应用，同时考查空间向量在求二面角中的应用，属于基础题.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用正弦定理化简得到求解；
（2）根据D为的中点，得到，然后平方结合基本不等式求解.
【小问1详解】
解：由，
利用正弦定理可得：，
，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
由D为的中点，
∴，
∴，
，
又∵，∴ ，
∴，
∴，
当且仅当时，取最小值．
18. 在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为．
（1）求的值；
（2）若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先设点Px0,y0，利用坐标表示斜率，利用点在椭圆上，即可化简求值；
（2）首先利用直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求点的坐标，并求的中点，利用和，求得，并代入点的坐标，即可求的取值范围.
【小问1详解】
设Px0,y0，，，
；
【小问2详解】
由题意知直线的方程为，则，
由，得，
则，则，，
则，又
所以的中点的坐标为，
当直线的斜率存在时，由题意知，，又，
所以，
即，得，，
，
当直线的斜率不存在时，，
综上：的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由圆的几何性质可知，，则可得到，才能代入坐标运算，化简得到与的关系.
19. 北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致敬航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率．
【答案】（1）64.5
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据频率和为1，求，再根据平均数公式，即可求解；
（2）首先确定各组抽取的人数，再通过列举的方法求古典概型的概率.
【小问1详解】
根据题意知，解得，
所以这100名同学得分的平均数是
答：平均数是64.5．
【小问2详解】
由条件知从抽取3名，从中抽取2名，从抽取1名，分别记为，
因此样本空间可记为
用A表示“这2名同学的得分不在同一组”，则
A包含样本点的个数为11，
所以
答：这2名同学的成绩分别在各一名的概率是