吉林省吉林市2024届高三下学期第四次模拟考试 数学 含答案

这是一份吉林省吉林市2024届高三下学期第四次模拟考试 数学 含答案，共20页。

说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知命题，则命题的否定为
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线
3．如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，一直
以来是吉林市的重要地标之一，时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时
钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成的角的最大值为
A．B．C．D．
4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震
时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.
年月日，斐济附近海域发生里氏级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿
克苏地区发生里氏级地震的
A．倍B．倍C．倍D．倍
5．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．或
6．越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，两个地区分别有，
的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为．若从这两个地区中任意选取一人，则此人参加户外极限运动的概率为；若此人参加户外极限运动，则此人来自地区的概率为，那么
A． B．
C． D．
7．已知的三个内角的对边分别为，，，，，
则线段的长为
A．B．C．D．
8．如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和
半圆组成，过的左焦点作直线与
曲线仅交于，两点，过的右焦点作直线与曲线仅
交于，两点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则
A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种
B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为
C．抽出的产品中至少有1件是次品的概率为
D．抽出的产品中次品数的数学期望为
10．已知在公差不为的等差数列中，，是与的等比中项，数列的前
项和为，且，则
A． B．，
C．D．，
11．已知函数，则
A．函数一个周期是
B．函数递减区间为
C．函数有无数多个对称中心
D．过点作曲线的切线有且只有一条
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．已知随机变量，，满足，，则 ．
13．已知函数，将函数的图象向右平移个单位得到函数的
图象，点是函数与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是 ．
14．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合
而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）．
如图，若正四面体棱长为，则该组合体的表面积为 ；该组合体
的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求实数的值和数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
16．（本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）求证：当，时，．
17．（本小题满分15分）
某商场为庆祝开业周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的个黄球和个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束．
（Ⅰ）现某消费者一次性消费元，记其参加抽奖的次数为随机变量，求的分布列
和数学期望；
（Ⅱ）随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，表示第天参加抽奖
活动的人数，该商场对活动前天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下：
经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．
(ⅰ)计算相关系数，并说明与的线性相关程度的强弱；（结果精确到）
(ⅱ)请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计第天
参加抽奖的消费者人数．
附：①相关系数：
最小二乘估计分别为：
②参考数据：．
18．（本小题满分17分）
如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，，．
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点到直线距离的最大值.
19．（本小题满分17分）
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为的直线族. 直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（Ⅰ）若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；
（Ⅱ）若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.
命题人：高三数学核心组
第天
人数