2024-2025学年北京市广渠门中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市广渠门中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. (ln2)′=12B. (e3)′=3eC. (ax)′=x⋅ax−1D. (csx)′=−sinx
2.已知物体的运动方程是s=14t4−4t3+16t2(t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0米每秒的时刻是( )
A. 0秒、2秒或4秒B. 0秒、2秒或16秒C. 2秒、8秒或16秒D. 0秒、4秒或8秒
3.已知函数f(x)=x2+1x，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=( )
A. 1B. 12C. 2D. 4
4.若(2x−1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则a2=( )
A. 6B. −6C. 12D. −12
5.某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有( )
A. 13种B. 14种C. 15种D. 16种
6.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则( )
A. abC. aba2
7.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定1人跑第1棒或第4棒，另有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为( )
A. 60B. 56C. 84D. 120
8.定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则( )
A. −3是f(x)的一个零点B. −1和−2都是f(x)的极大值点
C. f(x)的单调递增区间是(−3,+∞)D. f(x)的单调递减区间是(−2,−1)
9.已知a=12 e，b=ln22 2，c=ln44，其中e=2.71828⋯为自然对数的底数，则( )
A. b0时，f(x)=ax(x−2)ex，
当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，
当x∈(0,2)时，f′(x)0，所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，
所以f(0)=1是函数的极大值，f(2)=1−4ae2是f(x)的极小值，
因为f(−1 a)=1−a(−1 a)2e−1 a=1−1e−1 a=1−e1 a0，即a0时，ex>x2，
所以f(4a)=1−16a3e4a=1−16a3(e2a)2>1−16a3(2a)2=1−1a>0，
故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，
因此a>e24时，f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点，
综上，当f(x)有两个零点时，a=e24．
23.解：(I)E(1,3,4,2,5)=|1−1|+|3−2|+|4−3|+|2−4|+|5−5|=4；
(II)若数列{an}：a1，a2，…，an的位差和E(a1,a2,…,an)=4，有如下两种情况：
情况一：当ai=i+1，ai+1=i，aj=j+1，aj+1=j，且{ai,ai+1}∩{aj,aj+1}=⌀，其他项ak=k(其中k∉{i,i+1,j,j+1})时，有(n−3)+(n−4)+…+2+1=(n−2)(n−3)2种可能；
情况二：当ai，ai+1，ai+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项ak=k(其中k∉{i,i+1,i+2})时，有3(n−2)种可能；
综上，满足条件的数列{an}：a1，a2，…，an的个数为(n−2)(n−3)2+3(n−2)=(n−2)(n+3)2．
例如：n=5时，
情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；
情况二：形如3，2，1，4，5，共有5−2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；
形如2，3，1，4，5，共有5−2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；
形如3，1，2，4，5，共有5−2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4．
(III)将|a1−1|+|a2−2|+…+|an−n|去绝对值符号后，所得结果为±1±1±2±2±3±3±…±n±n
的形式，其中恰好有n个数前面为减号，这表明：
E(a1, a2, …, an)=i=1n|ai−i|≤2(n+(n−1)+…+n+32)+n+12−n+12−2(n−12+…+2+1)
=2((n−n−12)+(n−1−n−32)+…+(n+32−1))，
=n2−12．
此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1，2个2，…，2个n−12和1个n+12．
上面的讨论表明，题中所求的数列{an}：a1，a2，…，an是使得E(a1,a2,…,an)最大的数列，这样的数列在n=2k+1时，要求从1，2，…，n中任选一个数作为
ak+1，将剩余数中较大的k个数的排列作为a1，a2，…，ak的对应值，较小的k个数的排列作为ak+2，ak+3，…，a2k+1的对应值，
于是所求数列的个数为(2k+1)(k!)2．
综上，满足条件的数列的个数为n((n−12)!)2
例如：n=5时，
E(a1,a2,a3,a4,a5)=i=15|ai−i|.⩽2(5+4)+3−3+2(2+1)=2[(5−2)+(4−1)]=2⋅(5−5−12){每组之差⋅(5−12){组数=2(5+12)(5−12)=52−12=12
此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3．
若E(a1,a2,a3,a4,a5)=12，n=2k+1=5，此时k=2时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为a3，将剩余数中较大的2个数的排列作为a1，a2的对应值，
较小的2个数的排列作为a4，a5的对应值，于是所求数列的个数为5⋅(2!)2=20．
4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；
4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；
4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；
3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；
3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1． t
(0,2)
2
(2,+∞)
ℎ′(t)
−
0
+
ℎ(t)
减
极小值
增