河南省洛阳市洛宁县2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份河南省洛阳市洛宁县2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共17页。
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．签在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
答案：B
A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
2. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：根据图形可得，该图形的对称轴为轴，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为
故选：C．
3. 小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮一枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：共有4枚邮票，小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”的概率；
故选：A．
4. 关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
答案：A
解：∵，
∴
∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
5. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
答案：C
解：设矩形场地垂直于墙一边长为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故选：C．
6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 19或14B. 14或16C. 19D. 14
答案：C
解：由方程得，，，
∵，不能构成三角形，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：C．
7. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选：．
8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：A．
9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵，
设，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等，
∴，即，
故选：A．
10. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
答案：
解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
12. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____．
答案：
解：画树状图如下：
由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种，
∴甲、乙两人同时选择景点的概率为，
故答案为：．
13. 某超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为元．因销量持续攀升，商家在月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在月份售价的基础上，，月份按照相同的降价率连续降价．已知月份礼盒的售价为元，则__________．
答案：
解：根据题意得，
解得，（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均降价率为．即．
故答案为：．
14. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
答案：51
解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
15. 如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为__________．

答案：
解：菱形的边长为，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：
（2）解方程：
答案：（1）；（2）
解：（1）
；
（2），
∴，
∴或，
解得：．
17. 一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______；
（2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率．
答案：（1）
（2）摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．
【小问1详解】
解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为；
【小问2详解】
解：列表如下：
由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种
其中取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果有2种，即（凉，平）；（平，凉），
摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
魅
力
平
凉
魅
（力，魅）
（平，魅）
（凉，魅）
力
（魅，力）
（平，力）
（凉，力）
平
（魅，平）
（力，平）
（凉，平）
凉
（魅，凉）
（力，凉）
（平，凉）
答案：（1）证明见解析；
（2）或．
【小问1详解】
证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
19. 已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证：
（1）；
（2）
答案：（1）见详解 （2）见详解
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
20. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，
对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元．
（1）填表（不需化简）：
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用）
答案：（1）；；
（2）每间客房的定价应为元
【小问1详解】
解：增加元，就有一个房间空闲，增加元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，
入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是．
故答案是：；；；
【小问2详解】
解：依题意得：，
整理，得，
解得，．
入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
提价后
__________
__________
__________
当时，有游客居住的客房数量是：（间）．
当时，有游客居住的客房数量是：（间）．
所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元）．
答：每间客房的定价应为元．
21. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
答案：（1），
（2），
【小问1详解】
解：由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
22. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
答案：（1）的长约为8米；
（2）模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【小问1详解】
解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
【小问2详解】
解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
23. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
答案：（1）
（2）旗杆高度为；
（3）雕塑高度为．
【小问1详解】
解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
【小问3详解】
解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．