福建省泉州市德化县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省泉州市德化县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项
1．下列各数中最大的是（ ）
A．3B．0C．D．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币时，正面朝上B．太阳每天从西方升起
C．经过红绿灯路口，遇到绿灯D．负数小于正数
4．在中，，那么下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，均为正数，如果：：，那么下列各式中一定正确的是( )
A．B．C．D．
7．如图，是的中位线，若的面积为，则为四边形的面积( )
A．8B．10C．12D．14
8．某服装原价元，连续两次涨价，每次都涨后的价格为元，则是( )
A．20B．15C．10D．5
9．如图，在中，：：，平分交于点，交于点，则的值是( )
A．B．C．D．
10．在锐角中，于点，若，，则的度数是( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．若有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是6的概率是 ．
13．最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
14．如图，，则的长为 ．
15．如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是 ．
16．在平面直角坐标系中，点A，B均在抛物线上，，且轴，已知，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：．
18．如图，某滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为100米，求滑雪道长度．
19．如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．
(1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置；
(2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根．
21．在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：凡购物满200元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，该纸盒里装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．
(1)若抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是多少？
(2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，抽奖者从该纸盒中依次取出两个球（不放回），根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如表）
在线支付：
现金支付：
如果一个顾客当天在本商场购物满200元，他很想获得20元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．
22．某商场将每件进价为元的某种商品按每件元出售，后来经过市场调查，发现这种商品售价x元与其一天的销量y的函数关系是，如图．
(1)求该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式；
(2)若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应是多少元？
23．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下：
如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示）
解：∵，
∴，
∴________，
又∵，
∴_______，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴（步）
又∵，∴， （步）
(1)上述的测量问题，刘徽利用的几何知识是_______．请补全上述求解过程中所缺的内容；
(2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．现已画出测量示意图如图4，请写出图中你认为小明应该测量的几何量（长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示），并求出此座山峰的高度．
工具说明：
①如图2，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．
②如图3，自制测角仪的功能是测量角的大小，即将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆（高度为1．5米）、量角器刻度线与铅垂线相互重合，绕点O转动量角器，使观测目标P与量角器直径两端点A，B共线，此时目标P的仰角．
24．在中，，于点，点，关于直线对称，连接，，为的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中中，抛物线交x轴两点，，且，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上．
①若点P的横坐标为，点G也在该抛物线上，点F在该抛物线的对称轴上，四边形是平行四边形，求点G的坐标；
②若交于点Q，求线段的最大值．
参考答案与解析
1．A
解：，，
∵，
∴，
∴
∴最大的数是3，
故选：A．
2．D
解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；
B、中，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意；
C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
3．D
解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、太阳每天从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
D、负数小于正数，是必然事件，符合题意；
故选：D．
4．A
解：如图：

、，则，故此选项结论错误，符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意．
故选：A．
5．B
解：，
，
，
故选：B．
6．C
解：：：，
，
．
故选：C．
7．C
解：∵是的中位线，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故选：C．
8．C
解：根据题意得：，
解得：， (不符合题意，舍去)，
∴的值为．
故选：C．
9．A
解：四边形是平行四边形，
，
，
平分交于点，
，
，
，
：：，
：：，
故选：A．
10．B
解：如图所示，
，，
则令，
，．
在中，
，
同理可得，．
过点作的垂线，垂足为，
则，
．
在中，
，
．
故选：B．
11．
解：∵式子有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是6的只有1种结果，
所以向上一面的点数是6的概率为．
故答案为：．
13．
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：．
14．6
解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：6．
15．
解：四边形是正方形，
，，
点在边上，
，，
，
的余弦值是，
故答案为：．
16．或
解：设与y轴的交点为D，
点A，B均在抛物线上，，且轴，
，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：或．
17．0
解：原式
18．滑雪道长度为260米
解：∵滑雪道的坡度为，
∴，
∵米，
∴米，
由勾股定理得：（米），
答：滑雪道AC长度为260米．
19．(1)，图见解析
(2)见解析
（1）解：与的位似比是，如图位似中心即为所求．
故答案为：；
（2）如图，即为所求．
20．(1)
(2)，
（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）∵，且m为正整数，
∴，
∴原方程为，即，
∴或，
∴，．
21．(1)
(2)选择在线支付，理由见解析
（1）由题意得，抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是．
（2）列表如下：
共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有6种，
∴采用在线支付获得20元的礼金券的概率为，采用现金支付获得20元的礼金券的概率为．
∵，
∴选择在线支付．
22．(1)
(2)每件商品售价应是或元
（1）解：将代入得：
解得：，
∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为，
当时，
解得：，
又∵该商品的进价为元，
∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为：
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
答：每件商品售价应是或元．
23．(1)相似三角形的对应边成比例；；；
(2)需要测量，
（1）解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴（步）
又∵，∴， （步）
故答案为：相似三角形的对应边成比例；；；
（2）解：需要测量，
在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：证明：点，关于直线对称，
，
又，
，
，
；
（2）证明：由（1）知，，
是的平分线，
到的距离等于到的距离，
，
点，关于直线对称，
，
是的中点，
，
；
（3）解：由（1）知，，
，
由勾股定理得：，
是中点，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，即，
由勾股定理的：．
25．(1)
(2)①点G的坐标为或；②取最大值
（1）解：∵，，且，
∴点B的坐标为，
把代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①由抛物线的解析式为，得对称轴为直线，
把代入，得，
∴点P的坐标为，
设，
若是对角线，
由平行四边形性质可得，与互相平分，
∴，即，
解得，
∴点G的坐标为；
若是对角线，
由平行四边形性质可得，与互相平分，
∴，即，
解得，
∴点G的坐标为；
若是对角线，
由平行四边形性质可得，与互相平分，
∴，即，
解得（与点P重合，舍去），
综上所述，点G的坐标为或；
②过点P作直线垂直于x轴，过点Q作垂直于该直线，垂足为H，
设，
设直线的解析式为，把代入，
得直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入，
得直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
把点代入，得，
得直线的解析式为，
，解得，
得点Q的坐标为，
∴，
∵，轴，
，
∴，
∴，
得，
当，取最大值．
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
10
20
10
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
20
10
20
红
红
白
白
白
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
（红，白）
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）
（白，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）
（白，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）
（白，白）