2024-2025学年广东省东莞市嘉荣外国语学校高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市嘉荣外国语学校高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=−3,1,b=2,x，若a⊥b，则x=( )
A. −23B. 23C. −6D. 6
2.已知a=x,−2，b=5,−7，若a//b，则x=( )．
A. 145B. −145C. 107D. −107
3.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=5,b=4,c= 21，则C=( )
A. 90∘B. 45∘C. 60∘D. 30∘
4.若复数(a2−3a+2)+(a−1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A. 1B. 2C. 1或2D. −1
5.在▵ABC中，BE=3EC，则AE=( )
A. 13AB+23ACB. 23AB+13ACC. 14AB+34ACD. 34AB+14AC
6.若向量a=(2,3)，b=(−1,1)，则b在a上的投影向量的坐标是( )
A. 213,−313B. 213,313C. −213,313D. −213,−313
7.如图所示，在矩形ABCD中，AB= 2，BC=2，点E在边CD上，且DE=2EC，则AE⋅BE的值是( )
A. 256B. 274C. 163D. 329
8.如图所示，已知点G是▵ABC的重心，过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点，且AM=xAB，AN=yAC，则2x+y的最小值为( )
A. 2 2+33B. 2 2+3C. 4D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四式可以化简为PQ的是( )
A. AB+PA+BQB. AB+PC+BA−QC
C. QC+CQ−QPD. PA+AB−BQ
10.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列对▵ABC的个数的判断正确的是( )
A. 当a=2 2,c=4,A=30∘时，有两解
B. 当a=5,b=7,A=60∘时，有一解
C. 当a= 2,b=4,A=30∘时，无解
D. 当a=6,b=4,A=60∘时，有两解
11.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且csA=−14,c=3,sinA=2sinB，则( )
A. b=2B. sinB= 158
C. sinA+sinB=2sinCD. S▵ABC=32 15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若a=3,b=4，且a⋅b=−5，则a−b= ．
13.在▵ABC中，cs2B2=a+c2c，则▵ABC的形状为 三角形．
14.已知▵ABC中，AB=2 2,∠A=45 ∘,D为BC上一点，且BD=2DC,BE⊥AC，垂足为E，则AD⋅BE= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知O为坐标原点，A4,0，B1,m，C0,3．
(1)若A,B,C三点共线，求实数m的值；
(2)若点M满足OM=xOA+2−xOC，求OM的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在梯形ABCD中，AB=2DC,∠BAD=90 ∘,AB=AD=2,E为线段BC中点，记AB=a,AD=b．
(1)用a,b表示向量AE；
(2)求AE2的值；
(3)求AE与BD夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，4 33S=b2+c2−a2，其中S为▵ABC的面积．
(1)求角A；
(2)若a= 3，求▵ABC周长的取值范围．
18.(本小题17分)
已知甲船在A海岛正北方向15 3海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60 ∘的方向航行．
(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；
(2)在A海岛西偏南60 ∘方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成60 ∘角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye2，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2)，E,F分别是OB,BP的中点，AE,AF分别与OP交于R,T两点．
(1)求：|OP|；
(2)求OR,OT的坐标；
(3)若点M在线段AF上运动，设OM=(x,y)，求xy的最大值．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A
9.ABC
10.AC
11.ABC
12. 35
13.直角
14.−43/−113
15.(1)因为A4,0，B1,m，C0,3，
所以AB=1,m−4,0=−3,m，AC=0,3−4,0=−4,3，
又A,B,C三点共线，所以AB//AC，
所以−3×3=−4m，解得m=94
(2)因为A4,0，C0,3，
所以OA=4,0，OC=0,3，
所以OM=xOA+2−xOC=x4,0+2−x0,3=4x,6−3x，
所以OM= 4x2+6−3x2= 25x2−36x+36
= 25x−18252+57625，
所以当x=1825时OMmin=245．
16.(1)AE=12AB+AC=12a+b+12a=34a+12b；
(2)由于∠BAD=90 ∘，可得a⋅b=0，又有a=2,b=2，
所以AE2=34a+12b2=916a2+34a⋅b+14b2=916×4+14×4=134；
(3)由于∠BAD=90 ∘，可得a⋅b=0，又有a=2,b=2，
所以AE⋅BD=34a+12b⋅b−a=−34a2+12b2=−34×4+12×4=−1．
由AE2=134，可得AE= 132，
∴csAE,BD=AE⋅BDAE⋅BD=−1 132⋅2 2=− 2626．
17.(1)因为4 33S=b2+c2−a2，S=12bcsinA，csA=b2+c2−a22bc，
所以4 33×12bcsinA=2bccsA，则 33sinA=csA，即tanA= 3，
又0