湖南省长沙市长郡中学2025届高三下学期考前数学适应性演练（一）试题 含答案

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025届高三下学期考前数学适应性演练（一）试题 含答案，共11页。试卷主要包含了已知，则，探究函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、座位号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则
A．364B．365C．728D．730
2．在数列中，则“”是“数列为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知集合，且，则集合B可以是
A．B．C．D．
4．已知，则
A．B．C．D．
5．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则
A．B．C．D．2
7．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为
A．B．C．D．
8．探究函数，下列说法正确的是
A．有且只有一个极大值点B．在上单调递增
C．存在实数，使得D．有最小值，最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知为随机事件，，，则下列结论正确的有
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若，则
10．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当三角形ABC内一点满足条件：时，则称点为三角形ABC的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在三角形ABC中，角所对的边分别为，记三角形ABC的面积为，点是三角形ABC的布洛卡点，布洛卡角为，则
A．当时，
B．当且时，
C．当时，
D．当时
11．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，垂足为，直线与相交于，两点．若为的三等分点，则
A．B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，满足，，，则 .
13．若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为 ．
14．设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)已知函数.
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；
(2)讨论的零点个数，并证明.
16．(15分，改编题)如图所示，在直三棱柱中，，为中点，且，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．(15分)向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
18．(17分)已知双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，两条渐近线分别为和，其右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点（在的上方），过点分别作的平行线相交于点，过作的平行线与双曲线交于两点（在的上方），再过点分别作的平行线相交于点，这样一直操作下去，可以得到一系列点.证明：
①共线；
②为定值，.
19．(17分)已知等差数列的前n项和为，且，.当时，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)（ⅰ）若，求数列的前n项和；
（ⅱ）根据（ⅰ）试求出的最小值.
长郡中学2025届高三考前适应性演练（一）
数学参考答案
选择题(8*5+3*6=58’)
6．A【详解】由于的准线，所以，设准线与纵轴交于E点，
根据抛物线定义可知，所以，
易知，所以.
7．C【详解】由，得，
所以，
即，
则由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
又，所以，因为，
所以由余弦定理得，即.
由题可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
8．D【详解】由，则，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
由函数与复合而成，而在上单调递增；
故在上单调递减，在上单调递增；
所以在处取极小值，且无极大值，
又，故不存在实数，使得.
故ABC错误，D正确.
9．ACD【详解】对于A，若为互斥事件，则，故A正确；
对于B，若为互斥事件，则，，故B错误；
对于C，若相互独立，则，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D正确.
10．ABC【详解】
对于A，当时，有，又因为，
所以，又因为，
所以，即，故A正确；
对于B，由可得：，又因为，
所以，取中点为，可得，
又因为，所以，则，
再由正弦定理可得：，
展开化简得：，
再由，
因为一定为锐角，所以，故B正确；
对于C，由三角形面积关系可得：，因为，所以有，在中，由余弦定理可得：
，，，
三个式子相加得：，
整理得：，
代入可得：，故C正确；
对于D，由前面可得：，
，
代换得：，
再由余弦定理得：
，
代换得：，整理得，故D错误；
11．ACD【详解】不妨设抛物线的方程为，则，准线方程为．
对于A，如图，记为准线与轴的交点，设，则，过作准线的垂线，垂足为，
则，故A正确；
对于B，连接，则，又由A可知，，则为正三角形，．
在中，由余弦定理得
，故B错误；
对于C，由图易知，即，
从而，，由二级结论得，，可得，故C正确；
对于D，在中，，，
由余弦定理得，，故D正确．
12．4【详解】由，可得，，
解得.
13．/【详解】不等式，，
当时，，令，
依题意，，对函数求导得，
函数在上单调递增，则当时，恒成立，
令函数，求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
，因此，所以正数的最小值为最小值为.
14．【详解】由，消去整理得，则，
所以直线与抛物线无交点，
如图过点作轴交于点，过点作交于点，
则（当、重合时取等号），
设，，
所以，当且仅当时取等号，
15．（1）由题意可得，则，解得．
（2）当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
证明如下：
令，得或．
设函数．
① 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点；
② 当时，，故是上的增函数，
由得.
∵，，
∴有唯一的零点，则有两个零点；
③ 当时，．
由，得，由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴．
若，则，，则，
，则没有零点，故有唯一的零点；
若，则，，则有一个零点，故有两个零点；
若，则，，，
，
又，时，，
∴在和内各有一个零点，即有两个大于0的零点，则有三个零点．
综上，当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
16．（1）由题意，为中点，且，
所以，
所以，解得，
所以，所以，即，
取中点，则，
又面，
所以面，
又面，所以，
所以两两互相垂直，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
由题意，，，.
所以，
所以，
所以，所以，即.
（2）由（1）可知，
所以，
不妨设平面与平面的法向量分别为，
所以，不妨取，解得，
即可取平面的一个法向量为，
同理有，不妨取，解得，
即可取平面的一个法向量为，
不妨设平面与平面夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17．（1）依题意，列联表如下：
零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异，
由列联表中数据得，.
根据小概率值的的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关.
（2）（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立.
设“员工经过培训能应用”，则
，
所以员工经过培训能应用的概率是.
（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，
则，因此，
调整后视频部的年利润为
（万元），
令，解得，又，所以.
所以视频部最多可以调人到其他部门.
18．（1）依题意可设，
右焦点为，
两条渐近线分别为和，
，解得，
双曲线的方程为；
（2）①证明：设过平行于的直线为，
与相交于两点，
联立，可得，
该方程有两个不等正实根，故且，解得，
由韦达定理可得，
直线的方程为，又，
直线的方程为，
同理可得直线的方程为，
联立，可得交点，
由韦达定理知，
代入坐标可得，
都在直线上；
②证明：由①可设的坐标为，
过的直线的方程为，
由①可知，
，
，
，
，
，
为定值.
19．（1）设等差数列的首项为，公差为d，
由，，
可得，解得，
故数列的通项公式为.
，两边同时乘以，
则，
令
当时，，
当时，，
可得，
所以，
当时，，故满足，
故.
（2）（ⅰ），
所以
.
故.
（ⅱ）令，易知在上单调递增，
又因为，所以当时，取到最小值.
DeepSeek的应用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
72
没有应用
42
合计
90
150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
C
A
C
A
C
D
ACD
ABC
ACD
DeepSeek的应用情况
视频从业人员
合计
减少
未减少
应用
没有应用
合计