河南省信阳市普通高中2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 含解析

这是一份河南省信阳市普通高中2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合和集合，再求其交集即可.
【详解】集合为函数的值域，故，
集合为函数的值域，故，
∴.
故选：A.
2. 已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可求出的值.
【详解】由三角函数的定义可得.
故答案为：D.
【点睛】本题考查利用三角函数的定义计算余弦值，考查计算能力，属于基础题.
3. 已知实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】实数，则，
当时，，因此，
当时，而，则，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
4. 在扇形中，，弦，则扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弦长求出扇形的半径，根据扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形的半径为，由题意可知，，
所以，所以扇形的面积.
故选：B
5. 数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时)是车流密度单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)可以达到最大？（ ）
A. 60B. 100C. 140D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求得函数的解析式，再分类讨论确定车流密度的取值．
【详解】当时，设，则，解得，
于，
设车流量为q，则车流量，
当时，；
当时，，当且仅当取等号，
所以当时，车流量最大，最大值约为3333辆．
故选：B
6. 函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为（ ）
A. (0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4)
【答案】B
【解析】
【分析】计算出，并判断符号，根据零点存在性定理可得答案.
【详解】函数的定义域为(0,+∞)，函数的图象是连续不断的，
因为，，，，，
所以根据零点存性定理可知，函数在区间内存在零点.
故选：B.
【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题.
7. 函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得.
【详解】函数的定义域为R，
由，可得函数是R上的奇函数，
图象关于原点对称， AC错误；
当时，，且当x=0或时取等号，则B不满足，D满足.
故选：D.
8. 已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数，显然该函数在上单调递增，
由函数在上的值域为，则，
等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则，
解得.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知及指数函数的单调性判定大小关系即可.
【详解】由，
又为减函数，所以.
故选：BD
10. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断；
对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断；
对于选项C：利用基本不等式即可判断；
对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；
【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当，
即时取等号，故选项A正确；
对于选项B：，
当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C：由选项A可知，所以，
当且仅当，即时取等号，故选项C正确；
对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误.
故选：AC.
11. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
C. 函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4
D. 函数的图象与函数的图象重合
【答案】BC
【解析】
【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项．
【详解】由五点法知，从而，，由正弦函数性质知，
，，，，
所以，
选项A，，A错；
选项B，，其图象可由的图象向右平移个单位得到，B正确；
选项C，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C正确；
选项D，，D错．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】把看成一个整体角，再利用诱导公式和二倍角公式求值即可.
【详解】因为，
所以
．
故答案为：.
13. 已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的解集为或得到，进而根据解一元二次不等式即可.
【详解】由题意得的两个根为，，
，则，
则，即，
即，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
14. 函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用函数的奇偶性求解实数；再利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题，利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解即可.
【详解】函数的定义域为，
由函数为上的奇函数，
可得，
即，
则实数；
所以，
任取，设，
则，
，
，
则，
所以，
则函数为上的增函数；
又函数为上的奇函数，
所以不等式恒成立，
转化为，
即对恒成立，
所以对恒成立，
即，
令，
因，
则，
即，
则，
当且仅当时取等号，
由双勾函数的单调性知：，函数单调递减，
，函数单调递增，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
故实数的取值范围为.
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）化简；
（2）若，且为第三象限角，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式化简，再结合同角三角函数关系，即可求值.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由，得，
又为第三象限角，则，
所以，则.
16. 已知函数（且）．
（1）求函数的定义域；
（2）若函数图象过点，求的值；
（3）若时，函数的最大值为6，求值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数的真数大于0，可求函数的定义域.
（2）根据已知条件列方程可求的值.
（3）利用函数的单调性分类讨论求解.
【小问1详解】
由，
所以函数的定义域为：.
【小问2详解】
由.
小问3详解】
若，则函数在上单调递增，
所以；
若，则函数在上单调递减，
所以.但，故舍去.
综上：
17. 已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1； （2）在R上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由求解值，再检验即可；
（2）根据单调性的定义判断和证明即可；
（3）将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由函数为奇函数，其定义域为，
所以，
即，解得，此时，
满足，
即为奇函数，
故的值为.
【小问2详解】
解：在R上单调递减，证明如下：
由（1）知，
，且，
则，
因为，所以，，，
所以，，
即函数在上单调递减；
【小问3详解】
由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，则.
所以实数的取值范围为
18. 已知幂函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，是否存在实数n，使得的最小值为，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义求出m的值，再由确定函数解析式.
（2）假设存在，求出的解析式，利用换元法将问题转化为二次函数在闭区间上的最值求解.
【小问1详解】
由函数是幂函数，得，解得或，
当时，函数在上单调递减，不满足，不符合题意；
当时，在区间上单调递增，满足，符合题意，
所以.
【小问2详解】
假设存在实数n使得的最小值为，
由（1）得，由，得，
令，则化为，
于是的最小值为，
当，即时，在上单调递增，，
解得，矛盾；
当，即时，，则；
当，即时，在上单调递减，，
解得，矛盾，
所以存在，使得最小值为，
19. （1）求值：.
（2）在非直角中，求证：；
（3）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基人之一，享有数学“王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界的三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，符号表示不大于x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如，，.在非直角中，角A、B、C满足，若，试求.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用，可求结论；
（2）利用，可证结论；
（3）由，，结合条件可得，所以.可得、、必是整数.进而可求结论.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
.
（2）证明：在非直角中，，则有.
∴.
∴，
∴.
（3）∵，
又得
∴.
∵，，，
∴
∴.
∴、、必是整数.
又∵，∴，∴，∴.
∴
∴
∴
∴，.
∴.
0
0
0
0