2024-2025学年贵州省遵义市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年贵州省遵义市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了 曲线在点处的切线的斜率为， 函数的导数是， 已知函数，则， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题
1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用导数的定义求得正确答案.
【详解】设，
故选：C
2. 函数的导数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据导数的运算法则即可得到答案.
【详解】．
故选：C.
3. 已知数列的前n项和为，满足，则=（ ）
A. 11B. 31C. 61D. 121
【正确答案】D
【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解.
【详解】令，得，得，
由，
当时，，两式相减得，
，即，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：D.
4. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【正确答案】B
【分析】根据题意求出首项和公差即可.
【详解】依题意，即，
假设等差数列的首项为，公差为，
则，解得,
故选：B.
5. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围.
【详解】因为函数在上无极值,
所以在上无变号零点，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
6. 已知函数，则（ ）
A. 函数的极大值为，无极小值B. 函数的极小值为，无极大值
C. 函数的极大值点为，无极小值点D. 函数的极小值点为，无极大值点
【正确答案】A
【分析】利用导数判断出正确答案.
【详解】的定义域为，
，
所以在区间递增；在区间递减.
所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点.
故选：A
7. 已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】对求导，求出的单调性和极值，可得或，解不等式即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
所以，
令，解得：或，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点，
所以或，
解得：或.
所以的取值范围为.
故选：A.
8. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果.
【详解】由得，
设过点的直线与曲线切于点，
则切线斜率为，
所以切线方程为
因为切线过点，
所以，整理得，
因为过点的切线有两条，
所以方程有两不同实根，
因此，解得或，
即实数a的取值范围是.
故选：B
二､多选题
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为为常数，所以0，A错误；
因为，B正确；
因为，C正确；
因为
，D正确.
故选：BCD
10. 如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（ ）
A. 是函数的极小值点
B. 函数在处取最小值
C. 函数在处切线的斜率小于零
D. 函数在区间上单调递增
【正确答案】AD
分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解.
【详解】由图可得当时，；
当时，，当且仅当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确，
函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误.
故选：AD
11. 函数，则（ ）
A. B. 的单调递增区间为
C. 最大值为D. 有两个零点
【正确答案】ABD
【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D.
【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确；
对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确；
对于C，由上分析，当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误；
对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
而当时，；当时，，
由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题
12. 已知函数，则的单调递增区间为______.
【正确答案】
【分析】对函数求导，令导函数大于零求解即可.
【详解】由题意，
由得，
所以单调递增是.
故
13. 等比数列中，，则的值为_______．
【正确答案】4
【分析】利用等比数列的性质来求解即可.
【详解】在等比数列中，由，可得，即，
又由，，所以，
因为等比数列偶数项符号相同，所以，
故4.
14. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解.
【详解】设，则．
由当时，，得，即，故在区间上单调递增．
又，所以，即．
因为为上的偶函数，所以，
即，计算得，所以，
解得或．
故答案为.
四､解答题
15. 已知曲线，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.
【小问1详解】
解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或.
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值.
【正确答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）最大值2，最小值为.
【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间；
（2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案.
【小问1详解】
，
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
又，
故的最大值为2，最小值为.
17. 设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性；
（2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可.
【小问1详解】
由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则上单调递增；
时，，则在上单调递减．
【小问2详解】
由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
18. 已知数列的首项，且满足.
（1）求，；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）求数列的通项公式.
【正确答案】（1），；
（2）证明见解析； （3）
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）变形得，即可证明；
（3）根据（2）的结论得，再移项即可.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
由得，
且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列.
【小问3详解】
由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以，
即:.
19. 已知函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
（3）若当时，有最小值，证明：．
【正确答案】（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）对函数求导即可判断的单调性；
（2）由（1）可知将单调性相同转化为在时恒成立，求出，可得实数的取值范围；
（3）对求导后构造函数再求导，利用零点存在性定理可判段导函数符号，求出其单调性可得最小值的表达式，再构造函数求出其值域即可.
【小问1详解】
由题可知的定义域，，
令，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由（I）可知在上单调递增，
即在时恒成立，
即在时恒成立．
令，，则，
可得当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
又时，，所以，
所以，
即实数的取值范围是．
小问3详解】
由题可知，，
令，，则，
因为，，所以，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，即，即．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，即，
所以．
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单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增