高考数学第二轮复习专题练习 专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）（教师版），共15页。试卷主要包含了向量的数量积，向量数量积的性质和运算律，向量数量积的常用结论等内容，欢迎下载使用。

1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量与的夹角，也常用表示.

(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.
(4)向量的投影
如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【题型1 向量的投影】
【方法点拨】
根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量a,b满足a+b=3，则a在b上的投影向量为（ ）
A．aB．12aC．12bD．b
【解题思路】利用向量数量积的运算律可求得a⋅b，首先求得a在b上的投影数量，进而得到结果.
【解答过程】由题意知：a=b=1，
∵a+b2=a2+2a⋅b+b2=2+2a⋅b=3，∴a⋅b=12，
∴acs=a⋅bb=12，∴a在b上的投影向量为12b.
故选：C.
【变式1-1】（2022春·湖北·高二阶段练习）已知|a|=3,|b|=5，设a,b的夹角为120°，则b在a上的投影向量是（ ）
A．56aB．536aC．-56aD．-536a
【解题思路】列出投影向量公式，即可计算求解.
【解答过程】b在a上的投影向量aa⋅bcs120∘=-56a
故选：C.
【变式1-2】（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量a,b满足|a|=2,a⋅b=4，则b在a方向上的投影向量为（ ）
A．12aB．12bC．aD．b
【解题思路】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.
【解答过程】b在a方向上的投影向量为(|b|cs〈a,b〉)a|a|=(|b|×a⋅b|a||b|)a|a|=a⋅ba2a=a
故选：C.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120∘，AB=CD，则向量CD在向量AB上的投影向量为（ ）
A．-32ABB．-12ABC．12ABD．32AB
【解题思路】根据图形求出向量AB与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.
【解答过程】延长AB，DC交于点E，如图所示，
∵∠ABC=∠BCD=120∘，
∴∠CBE=∠BCE=60°，
∴∠CEF=120°，
又∵CD=AB，
∴向量CD在向量AB上的投影向量为CD⋅csAB,CD⋅ABAB=cs∠CEF⋅AB=cs120°⋅AB=-12AB，
故选：B.
【题型2 向量数量积的计算】
【方法点拨】
解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊
夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
【例2】（2022·四川·高三统考对口高考）已知向量a与向量b的夹角为60°，a=4，b=5，则a⋅b=（ ）
A．20B．10C．53D．52
【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积的定义直接计算作答.
【解答过程】因为向量a与向量b的夹角为60°，a=4，b=5，
所以a⋅b=|a||b|cs60∘=4×5×12=10，B正确.
故选：B.
【变式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量a，b满足|a=2，b|=3，且a与b的夹角为π6，则a+b⋅2a-b=（ ）
A．6B．8C．10D．14
【解题思路】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【解答过程】`
由|a=2，b|=3，且a与b的夹角为π6，
所以a+b⋅2a-b=2a2+a⋅b-b2
=2a2+a⋅bcsπ6-b2
=2×22+2×3×32-32=8.
故选：B.
【变式2-2】（2022·四川自贡·统考一模）在△ABC中，∠C=90°，CB=3，点M在边AB上，且满足BM=2MA，则CM⋅CB=（ ）
A．43B．3C．6D．8
【解题思路】结合向量的数量积运算以及线性运算求得正确答案.
【解答过程】依题意CA⊥CB，CB=3，BM=2MA，
所以CM⋅CB=CB+BM⋅CB
=CB+23BA⋅CB=CB+23CA-CB⋅CB
=13CB+23CA⋅CB=13CB2+23CA⋅CB=13×32+0=3.
故选：B.
【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高三学业考试）如图，在边长为3的正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AEEB=CDDA=12，则DE⋅BC=（ ）
A．93-12B．92-12C．-92D．92
【解题思路】结合平面向量的线性运算得到DE⋅BC=AC⋅AB-23AC2-13AB2，进而根据平面向量的数量积的定义即可求出结果.
【解答过程】因为AEEB=CDDA=12，所以DA=-23AC,AE=13AB
DE⋅BC=DA+AE⋅BA+AC
=-23AC+13AB⋅-AB+AC
=AC⋅AB-23AC2-13AB2，
又因为正△ABC边长为3，所以AC=AB=3，∠BAC=60∘，
故DE⋅BC=AC⋅AB⋅cs60∘-23AC2-13AB2
=3×3×12-23×32-13×32
=-92，
故选：C.
【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【方法点拨】
求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.
【例3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量m，n满足m=n=2，且m⋅n=-22，则m，n夹角为（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【解题思路】根据向量的点乘关系，求出csθ，即可求出m，n夹角.
【解答过程】解：由题意，
在向量m，n中，m=n=2，
m⋅n=mncsθ=2×2csθ=4csθ=-22，
解得：csθ=-22
∴θ=34π
故选：C.
【变式3-1】（2022春·云南曲靖·高三阶段练习）已知|a|=1,|b|=2,a⋅b=-12，则csa,a-2b=（ ）
A．0B．21111C．21313D．21919
【解题思路】根据数量积的性质求解a-2b，再根据向量夹角余弦值公式可得csa,a-2b的值.
【解答过程】解：|a|=1,|b|=2,a⋅b=-12，则a-2b=a-2b2=a2-4a⋅b+4b2=12-4×-12+4×22=19
所以csa,a-2b=a⋅a-2ba⋅a-2b=a2-2a⋅ba⋅a-2b=12-2×-121×19=21919.
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·模拟预测）已知向量a，b满足a=1，a+2b=7，a-b=192，则a,b=（ ）
A．π2B．3π4C．π3D．2π3
【解题思路】根据a+2b=7，a-b=192，a=1，可求得a⋅b=-34，b=32，最后利用数量积的公式求a,b即可.
【解答过程】解：由题可得a+2b2=a2+4a⋅b+4b2=1+4a⋅b+4b2=7①，
a-b2=a2-2a⋅b+b2=1-2a⋅b+b2=194②，
①②两式联立得a⋅b=-34，b=32，
∴csa,b=a⋅bab=-12，而a,b∈0,π，
∴a,b=2π3．
故选：D.
【变式3-3】（2022秋·山东聊城·高一期中）已知|a|=2,|b|=2,e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为-e，则a与b的夹角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
【解题思路】根据投影向量的定义结合题意可得a⋅b|b|⋅e=-e，即得a⋅b|b|=-1，再利用数量积的定义即可求得答案.
【解答过程】由题意可知向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|⋅e，
则a⋅b|b|⋅e=-e,∴a⋅b|b|=-1，即2×2×cs〈a,b〉=-2,∴cs〈a,b〉=-22，
而⟨a→,b→⟩∈[0°,180°]，故⟨a→,b→⟩=135°，
故选：D.
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【方法点拨】
根据题目条件，借助向量的夹角公式=，进行转化求解即可.
【例4】（2022秋·甘肃兰州·高一期中）已知i,j为互相垂直的单位向量，a=-i+2j,b=3i-λ-4j，且a与a-b的夹角为锐角，则λ的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．0,10∪10,+∞
C．-∞,0D．-∞,-2∪-2,0
【解题思路】根据a与a-b的夹角为锐角，由a⋅a-b>0且a与a-b不共线求解.
【解答过程】解：因为a=-i+2j,b=3i-λ-4j，
所以a-b=-4i+λ-2j，
因为a与a-b的夹角为锐角，
所以4+2λ-2>0，且a与a-b不共线，
解得λ>0，
当a//a-b时，则a=ka-b，
即-1=-4k2=kλ-2，解得k=14λ=10，
当λ=10时，a与a-b共线且同向，
所以λ的取值范围为0,10∪10,+∞，
故选：B.
【变式4-1】（2022·高一单元测试）已知△ABC是正三角形,若a=AC-λAB与向量AC的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是( )
A．λ2
【解题思路】由平面向量数量积的定义与运算律求解，
【解答过程】由题意得a⋅AC0且a,b不同向，由此可构造不等式组求得结果.
【解答过程】∵a,b的夹角为锐角，∴a⋅b>0且a,b不同向，
∴a⋅b=i-2j⋅i+λj=1-2λ>0-2≠λ，解得：λ