广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三（下）第七次月考数学试卷（含答案）

这是一份广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三（下）第七次月考数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x∈N|y= 6−xln(x−2)}，B={x|−10的解集是(−2,1a)，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−12)B. (−12,+∞)
C. (−12,0)D. (−12,0)∪(0,+∞)
6.已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为81π2，则该圆锥的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 18πD. 27π
7.已知A是双曲线x29−y216=1的左顶点，F是该双曲线的右焦点，圆M经过A与F点，则该双曲线的一条渐近线被圆M截得的弦长最小为( )
A. 8B. 2 15C. 16 65D. 4 343
8.设函数f(x)=(x2−a)(lnx−b)，若f(x)≥0恒成立，则a−b的最小值为( )
A. 1B. ln2C. 1e+12D. 1+ln22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某工厂为了解某型仪器的使用成本，对其已使用年限以及当年所需要支出的维修费用进行了统计，已知该型仪器投入使用的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：千元)有如下统计资料：
根据表中的数据可得线性回归方程为y =1.23x+0.08，则( )
A. y与x的样本相关系数r>0
B. a=6
C. 表中维修费用的第60百分位数为6
D. 当该型仪器投入使用的时间为7年时，当年所需要支出的维修费用一定是8690元
10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点A(4,0)的直线与C交于M，N两点，当MN⊥x轴时，|MN|=8，则( )
A. p=1
B. 原点O在以MN为直径的圆上
C. 以MN为直径的圆与C的准线相离
D. 存在直线MN，使得1|MF|+1|NF|=12
11.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠BAD=π3，M为A1C1与B1D1的交点，则下列说法正确的有( )
A. BM= 5
B. 三棱锥A−CD1M的体积为2 33
C. 设BN=12NB1，则AN⊥BM
D. 以D为球心， 7为半径的球在四边形BCC1B1内的交线长为2π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x>3，则2−x−1x−3的最大值为______．
13.已知i为虚数单位，复数z=i−2i2+3i3−4i4+…+2025i2025，则z的实部与虚部之和为______．
14.来自4个班的7名同学一起参与登山活动，其中一班有3人，二班有2人，三班和四班各1人，到达山顶之后7人排成一排合影留念，则同班同学不相邻的站法总共有______种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinB=atanC1+tanC．
(1)求B；
(2)若b= 2，求△ABC面积的取值范围．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD=60°，BC=2，PA=PD．
(1)证明：AD⊥PB；
(2)若四棱锥P−ABCD的体积为2，求平面PAC与平面PCD所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
函数f(x)=2x2+ax−lnx+1，a∈R．
(1)当a=0时，求函数f(x)的极值；
(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−2,0)，O为坐标原点，过点F的直线l交E于M，N两点，当l与x轴垂直时，|MN|=2 2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P．
(i)求点P横坐标的取值范围；
(ii)求△MNP面积的最大值．
19.(本小题17分)
在有限数列a1，a2，…，an中，若∀1≤i≤n−1，i∈N∗，有|ai+1−ai|=1，则称a1，a2，…，an为“链数列”，如果“链数列”a1，a2，…，an满足末项与首项相同，则称a1，a2，…，an为“回归链数列”．
(1)若数列a1，a2，a5，a4，a5为“回归链数列”，且a1=1，列举出所有满足的数列；
(2)证明：若数列b1，b2，…，bn为“回归链数列”，则n为奇数；
(3)若数列c1，c2，…，c13为“链数列”，c1=1，求该数列为“回归链数列”且c1≠1的概率．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由函数y= 6−xln(x−2)可得，x−2>0x−2≠16−x≥0，
解得23，
(x−3)+1x−3≥2 (x−3)⋅1x−3=2，当且仅当x=4时，等号成立．
故2−x−1x−3=−[(x−3)+1x−3]−1≤−2−1=−3．
故答案为：−3．
根据基本(均值)不等式求和的最小值即可．
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：i2=−1，i3=−i，i4=(i2)2=1，
则z=i−2i2+3i3−4i4+⋯+2025i2025=i+2−3i−4+5i+⋯+2025i，
所以z的实部与虚部之和为：(1+2−3−4)+(5+6−7−8)+⋯+2025=−4×20244+2025=1．
故答案为：1．
利用虚数单位i的运算性质，结合条件，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
14.【答案】1152
【解析】解：不妨设一班3人为A1，A2，A3，
二班2人为B1，B2，
三班1人为C，四班1人为D，
则A1，A2，A3不能相邻，B1，B2不能相邻．
以下分两类，先排B1，B2，C，D的相对位置：
若B1，B2之间有C或D，则这四人共有A44−A22A33种相对位置，再让A1，A2，A3来进行插空，总共有(A44−A22A33)⋅(A53)=720种，
若B1，B2之间没有C，D，则打包B1，B2可知这四人共有A22A33种相对位置，再让A1，A2，A3来进行插空，
因为B1，B2不能相邻，所以他们之间必然会有且只有一个一班同学，所以总共有(A22A33)⋅(C31A42)=432种，
综上，总共有432+720=1152种．
故答案为：1152．
根据已知条件按B1，B2，C，D的相对位置分类，再结合插空及排列数，组合数计算求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
15.【答案】B=π4；
(1, 2+12]．
【解析】解：(1)由正弦定理可得：
sinCsinB=sinAtanC1+tanC=sinAsinCcsC1+sinCcsC=sinAsinCcsC+sinC，
因为00，即tanB=1，所以B=π4．
(2)因为C是锐角△ABC的内角，又因为B=π4，
所以，0